ÜBER DIE DISCRDIIXANTEN ENDLICHER KÖRPER. 27 



und der Quotient b : a ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der 

 Moduln 



(7) la^\ B«r' . . . b«-'. 



Hiervon überzeugt man sich leicht; da nämlich jeder der Moduln 

 (6) durch ab theilbar ist , so gilt dasselbe von ihrem grössten gemein- 

 schaftlichen Theiler c; da ferner jedes Product aß von der Form ß^ix^a^^ 

 also eine Summe von n Zahlen [ßx^a^ ist, deren jede einem der n Mo- 

 duln (6) angehört, so ist ciß in c enthalten, also ab theilbar durch c, 

 mithin ab = c. Da endlich eine Zahl ri stets und nur dann dem Quo- 

 tienten b : a angehört , wenn die n Producte rici^ in b , und folglich i] in 

 jedem der Moduln '7) enthalten ist, so ist dieser Quotient das kleinste 

 gemeinschaftliche Vielfache der Moduln (7), \v. z. b. w. 



Nachdem unsere obige Behauptung über die aus a, b abgeleiteten 

 Moduln (4) hiermit gerechtfertigt ist, wollen wir zur Abkürzung fest- 

 setzen, dass unter einem Modul schlechthin und ebenso unter einer 

 Ordnung immer nur ein solcher endlicher Modul verstanden werden 

 soll, dessen Basis zugleich eine Basis des Körpers Si bildet; nur solche 

 Moduln a , b . . . werden im weiteren Verlaufe unserer Untersuchung 

 auftreten. In diesem Sinne gilt zunächst folgender Satz: 



Ist b theilbar durch o , so besteht der Quotient 6 : a aus lauter 

 ganzen Zahlen, d. h. er ist theilbar durch o. 



Denn wenn ri eine beliebige Zahl dieses Quotienten bedeutet, so 

 sind die Producte , »;«2 . . . in b , also auch in a enthalten , also 

 von der Form ^x^cc^, wo x^, X2 ■ . ■ x,, ganze rationale Zahlen sind, und 

 hieraus folgt der Satz bekanntlich durch Elimination von «1, «2 • • • ^n- 



Hieraus folgt von selbst, dass auch jede Ordnung 0" oder n durch 

 die Ordnung 0 theilbar ist; da ferner die Zahl 1 in n enthalten ist, so 

 leuchtet ein, dass 



(8) no = 0 



ist. Aus der Theilbarkeit von u durch 0 folgt durch abermalige An- 

 wendung desselben Satzes, dass der Quotient 



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