ÜBER DIE DISCßIMINAXTEN ENDLICHER KÖRPER. 29 



ist, so giebt es ein und nur ein System ((a^)) von n Zahlen «i; «o • • • 

 welche den n Gleichungen 



(2) Ci. = a,a^ 



genügen; diese n Zahlen gehören offenbar demselben Körper i2 an und 

 bilden ebenfalls eine Basis von i2, die wir das Complement der 

 Basis ((aj) nennen wollen. Bei dieser Ausdrucksweise ist wohl darauf 

 zu achten, dass jeder bestimmten Zahl der ersten Basis ((«J) eine 

 bestimmte Zahl d^. der complementären Basis ((a^)) corre spondirt. 



2. Ist CO eine beliebige Zahl des Körpers i2, so sind die n Spu- 

 ren S((occ^) zugleich die Coordinaten von co in Bezug auf die Basis 

 {{(x'J), d. h. es ist 



(3) cü = ^Ä(toa«;. 



Da nämlich ((orj) eine Basis von S2 ist, so kann w in die Form 

 2x^ci^ gesetzt werden, wo die Coefficienten rationale Zahlen sind, und 

 offenbar folgt aus (2) unmittelbar die allgemeinere Gleichung (3). 



3. Bezeichnet man durch das Symbol {r,s) den Werth 1 oder 0, 

 je nachdem die der Reihe 1, 2 . . . n angehörenden Indices r, s gleich 

 oder ungleich sind, so ist stets 



(4) Ä'.ßf,«;) = .V, 



Dies ergiebt sich unmittelbar aus (3), wenn man lo = a'^ setzt. 



4. Umgekehrt, wenn zwei Systeme ((aj) und ((jSj) den Re- 

 lationen 



(5) S{aj:) = (r, s) 



genügen, so bilden sie zwei Basen des Körpers, von denen jede das 

 Complement der anderen ist. 



Denn zufolge (5) ist die aus den Spuren S{c{.^.ßs) gebildete Deter- 

 minante = 1 , also von Null verschieden, woraus (nach §. 1. (15)) folgt, 

 dass die Systeme ((aj) und Basen des Körpers sind, weil ihre 



Discriminanten nicht verschwinden. Mithin besitzt ((«J) eine comple- 

 mentäre Basis ((a^)), und da aus (3) und (5) 



