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folgt, so ist ((«3) identisch mit ((/?^;J. Da ferner die Relationen (5) 

 durchaus symmetrisch in Bezug auf beide Systeme sind, so ist ebenso 

 ((«J) das Complement von (Jß^). Es ergiebt sich daher auch der Satz : 



5. Ist ((ßj) das Complement der Basis ((ßj), so ist ((ßj) dasjenige 

 von ((ßj)). Es gehören daher immer zwei Basen zu einem Paar com- 

 plementärer Basen zusammen, und folglich gilt für jede Zahl co 

 auch die Gleichung 



(6) = J^S{o)c(^)ci^. 



6. Wenn zwei Systeme ((«J), {(ßj) die Eigenschaft haben, dass 

 für jede Zahl co die Gleichung 



(7) CO ^ ^8{<x>a^ß^ 



gilt, so bilden sie ein Paar complementärer Basen. 



Denn daraus, dass jede Zahl co des Körpers in der vorstehenden 

 Form (7) darstellbar ist, folgt zunächst, dass das System ((/SJ) eine Basis 

 von i2 ist; und wenn man w ~ setzt, so folgen hieraus ferner die 

 Relationen (5). 



7. Bezeichnen wir immer mit ((«'J) das Complement der Basis 

 ((aj), so ist 



(8) J1X<=1- 



Denn wenn man co in (3) durch weil ersetzt, so erhält man 



coß^ = ^ S\(oa^al)a[\ 

 hieraus folgt (nach ^. I, (11)) 



Siw) — wa cc = S wJ^cc c<r'\ 



woraus unser Satz sich ergiebt (zufolge §. 1, (17) und ,18)). 



8. Der Coefficient, welchen das Element «J;;^ in der Determinante 



(9) + . . . = \M 

 hat , ist 



