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ser gegenseitigen Theilbarkeit der beiden Moduln (a-j-^)' und a — b' 

 folgt aber ihre Identität; der zweite Satz (2) ist identisch mit diesem 

 ersten, wie man leicht erkennt, wenn man a, b resp. durch a'. 5' ersetzt 

 und den Satz (1) zuzieht. 



4. Sind a, 6 zwei beliebige Moduln, so ist 



(3) (b, a) = (a', b') 



Denn nach allgemeinen Sätzen (Z. §. 165, S. 484) ist 



(b, a) = (a+b, a); (a, b') = (a, a'— b'), 



und da a theilbar durch a-|-b ist, so folgt aus den Sätzen 2. und 3., 

 dass 



(a + b,a) = (a', (a + b)') = (a, a'-b') 



ist, w. z. b. w. 



5. Ist 1^ eine von Null verschiedene Zahl des Körpers S2, so ist 



(4) {ariJ = a'r}-'- 



Dies folgt ohne Weiteres aus dem Satze 9. in §. 8. 



6. Mit Zuziehung der complementären Moduln lassen sich die 

 beiden Operationen der Multiplication und Division der Moduln auf 

 einander zurückführen : 



Da nämlich, wenn ((ßj) eine Basis von a bedeutet, das Product 

 ab (zufolge §. 7, (6)) der grösste gemeinschaftliche Theiler der Moduln 



b«!, bofa • • • ba„ 



ist, so folgt (aus 3.), dass das Complement (ab)' das kleinste gemein- 

 scliaftliche Vielfache der Complemente 



(b«,)', (B«2)' . . . (B«,.)' 

 ist; da diese letzteren (zufolge 5.) mit 



b'«rS fiW' • • . "b'cc-' 

 idcutiscli sind, so folgt (nach §. 7, (7)), dass (ob)' zugleich der Quotient 



