ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 35 



b' : a ist. Hiermit ist unser Satz vollständig bewiesen ; es wird aber dem 

 Leser vielleicht willkommen sein, wenn wir noch, den folgenden, auf 

 Rechnung gegründeten Beweis hinzufügen. 



Ist ((/SJ) eine Basis von B, so bilden die n' Producte a^.ß^ eine Ba- 

 sis des Productes nB, welche sich nach allgemeinen Sätzen (Z. §. 165) 

 auf eine irreductibele Basis ((/J) zurückführen lässt; es gelten dann n~ 

 Gleichungen von der Form 

 (6) a,ß, = :Ef;y^ 



und umgekehrt n Gleichungen von der Form 



(') = 



wo alle Coefficienten und q''^^ ganze rationale Zahlen sind; substi- 

 tuirt man in (7) für die Producte aß^, ihre Ausdrücke gemäss (6), so 

 folgt aus der Irreductibilität der Basis ({/,)), dass die Summe 



(8) ^;)M'^M' = (A, m), 



d. h. = 1 oder =0 ist, je nachdem h^m gleich oder ungleich sind. 

 Da nun zwischen den Basen ((of,./SJ) und ((/J) der Moduln Ba,. und ab 

 diejenigen n linearen Relationen (6) Statt finden, in denen r einen und 

 denselben Werth behauptet, so folgen (nach den Sätzen 9. und 10. in 

 ^. 8) durch den Übergang zu den Complementen 6'«^^ und (oB)' die 

 Gleichungen ^) 



(9) a y' = ^f^^ß'- 



mithin ist das Product o(aB)' theilbar durch b', also (aB)' theilbar durch 

 den Quotient b':o. Umgekehrt, wenn ri eine beliebige Zahl dieses 

 Quotienten bedeutet, also ari durch B' theilbar ist, so gelten n Glei- 

 chungen von der Form 



(10) »j«, = ^c'-,*/?;, 



wo die Coefficienten c'''* ebenfalls ganze rationale Zahlen sind; setzt 

 man ferner 



1) Dies ergiebt sicli noch einfacher durch die Bemerkung, dass pj;/ = S{cc^.ß/'^^) ist. 



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