36 . R. DEDEKIND, 



(11) em=S{r}y„,), also rj = Ile^y^, 

 so folgt mit Rücksicht auf (9) die Gleichung 



vergleicht man dies mit (10), so folgt 



multiplicirt man jetzt mit q'^^ und summirt über alle Werthe von r, s. 

 so ergiebt sich mit Rücksicht auf (8) 



mithin sind die Zahlen ebenfalls ganze Zahlen, woraus nach (11) 

 folgt , dass f} in (ab)' enthalten ist. Also ist der Quotient 6' : a theilbar 

 durch (ob)', und aus dieser gegenseitigen Theilbarkeit beider Moduln 

 folgt ihre Identität, w. z. b. w. 



7. Je zwei complementäre Moduln a, a haben dieselbe Ordnung. 

 Denn setzt man in dem vorigen Satze b = a' also b' = a, so folgt 



(12) (aa')' = a" = (a')o. 



8. Ist ö eine ganze Zahl und zwar Wurzel einer irreductibe- 

 len Gleichung n*''' Grades F{e) = 0, also = F'{8) von Null ver- 

 schieden, so ist der Modul 



(13) n = [l, 0, 6' . . . 



offenbar eine Ordnung, und solche Ordnungen wollen wir reguläre 

 Ordnungen nennen. Durch den Übergang zum Complement erhält man 



wo die Zahlen i]i • ■ ■ Vn-i durch die Gleichungen (19) in §. 8 deh- 

 nirt sind; da nun in unserem Falle, wo 0 eine ganze Zahl ist, die 

 Coefticienten 1, aj, . . . a.„ der Function F{t) ganze rationale Zahlen 

 sind, so bilden offenbar die Zahlen )ji . . . r]„_i ebenfalls eine Basis 

 von u, und folglich ist 



(14) <9*n' = n. 



