ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 



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gruenzen voraus, bei denen es sich immer nur um ganze Functionen 

 einer Variabelen t handelt, deren Coefficienten ganze rationale Zah- 

 len sind. 



Es sei p ein bestimmtes Primideal im Körper Sl. und p die 

 durch p theilbare positive rationale Primzahl. AVenn nun Q irgend eine 

 ganze Zahl des Körpers, und F[t) wieder die zugehörige Function n*^^' 

 Grades bedeutet (§. 1), so kann man die letztere in Bezug auf den 

 Modul p in Primfunctionen P[t) zerlegen, deren höchste Coefficienten 

 wir immer = 1 annehmen (C. §. 6) ; aus dieser Zerlegung 



(1; F[t) = IVP fi (mod. jt)) 



folgt, weil F ß) = 0 ist, die Zahlen- Congruenz 



(2' riP(ö = 0 (mod. p), 



mithin muss einer der Factoren, den wir mit P(ö) bezeichnen wollen, 

 durch das in p aufgehende Primideal p theilbar sein, also 



(3; P ö) = 0 (mod. ^) . 



Da eine beliebige Function \p[t) entweder durch P[t) theilbar oder re- 

 lative Primfunction zu P{t] ist (mod. pi" , und da im letzteren Falle eine 

 Congruenz von der Form 



(4) xp[t)xp,[t)-^P[t)xpJ,t)= 1 (mod.jo) 



Statt findet (C. §. 4), so leuchtet ein, dass die Zahlen-Congruenz 



(5) \p[Q) = 0 (mod. 



durchaus gleichbedeutend mit der Functionen-Congruenz 

 (5') yj{t) = 0 (modd. j;, Pit)) 



ist C. §. 7). Hieraus folgt einerseits, dass die Primfunction P{t), de- 

 ren Grad wir mit / bezeichnen wollen, durch die Zahl d, für welche 

 die Congruenz (3) gelten soll, vollständig bestimmt ist (mod. jo) ; man 

 würde auch — was aber hier kein weiteres Interesse hat — leicht fin- 

 den, dass allen und nur denjenigen Zahlen, welche mit einer der f 

 incongruenten Zahlen 



ö', ö^' . . . dp^-' 



MatJiem. Classe XXIX. 2. F 



