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nach p congruent sind, dieselbe Primfunction P{t) entspricht, und dass 

 / ein Divisor vom Grade des Primideals p ist. Andererseits ergiebt 

 sich aus der Aequivalenz von (5) und (5'), dass zw^ei ganze Zahlen von 

 der Form V^i^ö), V^2(ö) stets und nur dann nach p congruent sind, wenn 

 die Functionen ipi{t), ^2(0 ii^ch dem Doppelmodul p, P{t) congruent 

 sind, und da p-^ die genaue Anzahl aller nach diesem Doppelmodul in- 

 congruenten Functionen xp[t) ist (C. §. 8), so ist zugleich die Anzahl 

 aller nach p incongruenten Zahlen von der Form xpiß). 



Ist daher die Zahl Q die Wurzel einer irreductibelen Glei- 

 chung n*^"" Grades F{Q) = 0 , ist also die entsprechende Zahl = F'(9) 

 von Null verschieden, so v^ird, wenn wir wieder die durch ö erzeugte 

 reguläre Ordnung 



(6) [1, Q, . . . 6"-'] = n 

 setzen , 



(7) {n,p)=pf. 



Unter dieser Voraussetzung gilt nun, wenn wir zur Abkürzung 



(8) P(ö) = Q 



setzen und mit f den Führer der Ordnung n bezeichnen, der folgende 

 wichtige Satz ; 



Die erforderlichen und hinreichenden Bedinffung-en 

 dafür, dass f nicht durch p theilbar ist, bestehen darin, 

 erstens dass / auch der Grad von also 



(9) N{p) = pf, 



und zweitens dass p der grösste gemeinschaftliche Thei- 

 1er von o^^ und ist. 



In der That, wenn f nicht durch p theilbar ist, so ist o 

 der grösste gemeinschaftliche Theiler dieser beiden Ideale und folglich 

 auch derjenige von ii und p, weil f durch n, und it durch o theilbar ist; 

 liicvaus folgt nach einem schon oft benutzten Satze (Z. §. 165, S. 4841 



(U, p) = ^0, p) iV^p), 



