ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 



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woraus sich mit Rücksicht auf (7) die zu beweisende Gleichung (9) er- 

 giebt. Ferner leuchtet ein, dass der grösste gemeinschaftliche Theiler 

 e der Ideale ojo, jedenfalls theilbar durch p ist, weil zufolge (3) und 

 (8) auch ^ durch p theilbar ist; dass aber wirklich t = p ist, ergiebt 

 sich auf folgende Weise. Da tp nicht durch p^ theilbar ist, so giebt 

 es in eine durch p^ nicht theilbare Zahl, welche gewiss von der 

 Form ip{d) ist, weil tp durch f, also auch durch n theilbar ist; da nun 

 yj[d) durch fp, mithin auch durch p theilbar ist, so ist zufolge (5') 



tp{t)= P{t)yj,{t) {mod.p), 



also 



yj{d) = Qxp,{ö) (mod.p), 



woraus sich ergiebt, dass die Zahlen p, q nicht beide durch p^ theilbar 

 sein können, weil yj{Q) nicht durch p^ theilbar ist; mithin kann auch e 

 nicht durch p^ theilbar sein. Ist ferner q irgend ein von p verschiede- 

 nes, in p aufgehendes Primideal, so giebt es in dem Ideal fq, weil es 

 nicht durch p theilbar ist, eine durch p nicht theilbare Zahl, welche 

 wieder von der Form \p{d) ist, weil fq durch f , also auch durch n theil- 

 bar ist; da yj(Q) nicht durch p, also y/{t] nicht durch P(t) theilbar ist 

 (mod. ^), so gilt die Congruenz (4), aus welcher, weil p und die in fq 

 enthaltene Zahl durch q theilbar sind, die Congruenz 



^ip2{d) = 1 (mod. q) 

 folgt ; mithin kann q nicht durch q , also e nicht durch pq theilbar sein. 

 Hieraus folgt offenbar, dass das in p aufgehende Ideal t = p ist, wo- 

 mit der erste Theil unseres Satzes bewiesen ist. 



Wir wenden uns jetzt zu dem bei weitem schwierigeren zweiten 

 Theile: wenn erstens der Grad / der Primfunction P{t) zu- 

 gleich der Grad des Primideals p, und wenn zweitens p 

 der grösste gemeinschaftliche Theiler von op und ist, 

 so haben wir zu zeigen, dass f nicht durch p theilbar ist. Wir be- 

 zeichnen mit p^ die höchste in p aufgehende Potenz von p 

 und setzen 



(10) op = ap', 



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