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wo n ein durch p nicht theilbares Ideal bedeutet, und Avir wollen auf 

 Grund unserer zweiten Annahme zunächst beweisen, dass die Zahlen- 

 Congruenz 



(11) Vi{Q) = 0 (mod. p') 



mit der Functionen -Congruenz 



(11') V^(0 = 0 (modd. ^, P(00 



durchaus gleichbedeutend ist ; in der That leuchtet unmittelbar ein, dass 



(11) eine Folge von (Ii') ist; rindet aber (Ii') nicht Statt, so ist der 

 grösste gemeinschaftliche Theiler, welchen \p[t) und P;^)' nach dem 

 Modul p besitzen, von der Form P[t)\ wo r<Ce^ und es gilt bekannt- 

 lich (C. §. 4) eine Congruenz von der Form 



^{t)ip,{t)-\-P{tryj,{t) = P{ty {mod.p), 



aus welcher 



V(ö)v^i(Ö) = (mod. p') 



folgt; im Falle e — 1 (der eigentlich schon oben in (5) und (5') erle- 

 digt ist) muss r = 0 sein, und folglich kann auch (11) nicht Statt 

 finden ; ist aber e'^l , also p theilbar durch . so ist zufolge unserer 

 zweiten Annahme q nicht theilbar durch p^, mithin ist p'' die höchste 

 in p'' aufgehende Potenz von p, also q'' nicht theilbar durch p% und 

 folglich kann auch in diesem Falle die Congruenz (11) nicht Statt 

 finden, Avas zu zeigen war. Aus dieser Aequivalenz zwischen (11) und 

 (11') folgt unmittelbar, dass die Anzahl der nach p^ incongruenten Zah- 

 len von der Form \p[d) zugleich die Anzahl der nach dem Doppelmodul 

 jt;, P{ty incongruenten Functionen yj{t) ist, also (C. §. 8) 



(n, p^) 



Verbinden wir hiermit unsere erste Annahme (9), so ergiebt sich 



(12) („^ p«) _ jVr(p«) p«)^ 



Avoraus Avir schliessen, dass o der grösste gemeinschaftliche Theiler von 

 II und p" ist, und dass alle Zahlclassen in Bezug auf p' auch durch 

 Zahlen der Onhiung u repraesentirt Averden können; ist daher to eine 



