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Grades ist, so kann ihr Index k nicht verschwinden, und folglich 

 kann man 



(20; k = (o, n) = hp' 



setzen . wo h eine durch p nicht theilbare ganze rationale Zahl bedeu- 

 tet; setzen wir daher 



(21) ^ = ha\ 



so ist nicht theilbar durch und da das Hauptideal ok durch n 

 theilbar ist, so folgt aus (19) und (20) 



(22) WK = kuDg = 0 (mod. n). 



Mithin wird jede ganze Zahl w durch Multiplication mit x in eine 

 Zahl der Ordnung n verwandelt, d. h. das durch p nicht theilbare Ideal 

 OK ist theilbar durch n; da nun der Führer f einer Ordnung n in jedem 

 durch n theilbaren Ideal aufgeht (§.7), so ist f nicht theilbar 

 durch w. z. b. w. 



§• 12. 



Nachdem soeben die Bedingungen genau festgestellt sind, unter 

 welchen der Führer einer regulären Ordnung durch ein gegebenes Prini- 

 ideal nicht theilbar ist, wollen wir beweisen, dass diese Bedingungen 

 stets erfüllbar sind, d. h. dass folgender Satz besteht: 



Ist p ein gegebenes Primideal, so giebt es immer eine 

 reguläre O r d n u n g n , d e r e n ¥ ü h r e r f durch p nicht theil- 

 bar ist. 



In der That, wenn p die durch p theilbare rationale Primzahl, 

 und /" der Grad von p , also 



N{p) = pf 



ist, so wählen wir (wie in §. 5, 5. oder in G. §. 4) nach Belieben eine 

 Function P{t) von demselben Grade /, welche eine Primfunction in 

 Bezug auf den Modul p ist. und unterwerfen die zu suchende Zahl d, 

 welche die reguläre Ordnung n erzeugen soll, zunächst der Bedingung 



P(Ö) = 0 (mod. p), 



