ÜBER DIE DISCRIMIN ANTEN ENDLICHER KÖRPER. 



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welche Congruenz bekanntlich immer / Wurzeln besitzt. Für den Fall, 

 dass p durch theilbar ist, stellen wir ferner an 0 die Forderung, dass 

 P[0) nicht durch theilbar ist, was sich ebenfalls erreichen lässt, 

 weil die Derivirte P'{t) in Bezug auf p relative Primfunction zu P[t) 

 ist (G. §. 4;. Ist ferner q irgend ein von p verschiedenes, in p aufge- 

 hendes Primideal, so giebt es jedenfalls Zahlen u, für welche P(,t*) 

 nicht durch q theilbar ist; denn wenn etwa die rationale Zahl P(0) 

 durch q und folglich auch durch p theilbar ist, was nur dann geschieht, 

 wenn P{t) = t (mod. jo), so ist P(l) nicht theilbar durch q, mithin ist 

 mindestens eine der beiden Zahlen 0, 1 eine solche Zahl fx. AVählt 

 man nun die Zahl 6 so, dass sie in Bezug auf jedes Primideal q einer 

 entsprechenden solchen Zahl ,a congruent wird, welche Bedingungen 

 bekanntlich unter einander und auch mit der früheren, auf p oder 

 bezüglichen verträglich sind, so wird offenbar p der grösste gemein- 

 schaftliche Theiler von p und P{0), und dies bleibt auch bestehen, 

 wenn 9 durch irgend eine andere Zahl derselben Zahlclasse (mod. p) 

 ersetzt wird. Die beiden in dem Satze des vorigen Paragraphen auf- 

 gestellten charakteristischen Bedingungen sind dann immer erfüllt, und 

 wir haben daher nur noch zu zeigen, dass aus einer solchen Zahlclasse, 

 welche den bisherigen Bedingungen genügt, die Zahl 9 immer so aus- 

 gewählt werden kann, dass die abgeleitete Zahl nicht verschwindet, 

 dass also d die Wurzel einer irreductibelen Gleichung n*^^ Grades 

 wird und folglich eine wirkliche Ordnung n erzeugt, welche dann un- 

 fehlbar die verlangte Eigenschaft besitzen muss. Hierzu gelangt man 

 leicht auf folgende Weise. Da jeder Körper n^^^ Grades i2 gewiss Zah- 

 len enthält, die einer irreductibelen Gleichung n^^" Grades genügen'), 

 so giebt es unter ihnen auch ganze Zahlen, und es sei co eine solche; 

 setzen wir wieder fest (wie in §. 1), dass die Permutation <p^^^ alle Zah- 

 len ungeändert lässt, so ist 



1) Dies liegt entweder schon in der Definition von i2 (Z. S. 464. 469), 

 oder es wird leicht bewiesen, falls diese Definition durch eine andere ersetzt wird 

 (zweite Auflage der Zahlentheorie, S. 425. 427). 



