ÜBER DIE DISCRLMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 



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ihrem Index k aufgehende Potenz von .2, so ist 5>0, und wenn man 

 mit a", b*", c'' die höchsten Potenzen von a, b, c bezeichnet, welche in 

 dem entsprechenden Ordnungsführer t aufgehen, so sind die Exponen- 

 ten a, b, c alle weil k immer durch ! theilbar ist; da ferner 

 N{(i) = N(h) = iV(c) = 2, und iY:f) = k' ist (§. 9, (16)), so ist 2«+*+" 

 die höchste in k' aufgehende Potenz von 2, folglich a-{-h-\-c — 28; 

 mithin kann von den drei Exponenten a, h. c, weil sie <s sind, höch- 

 stens einer = 0 sein, d. h. f ist theilbar durch mindestens zwei der 

 drei Ideale o, b, c (also auch durch mindestens eins der beiden Ideale 

 a, b). Diese theoretischen Vorhersagungen bestätigen sich vollständig 

 durch die wirkliche Rechnung, und man findet z. B. leicht, dass 

 ac, bc, ob die Führer der regulären Ordnungen sind, welche durch die 

 dort mit «, ß, cc-\-ß bezeichneten Zahlen erzeugt werden. 



§• 13. 



Der im vorigen Paragraphen bewiesene Satz kann mit Rücksicht 

 auf den Satz (11) in §. 10. folgendermaassen ausgesprochen werden: 



Das Grundideal b ist der grösste gemeinschaftliche 

 Theiler aller Zahlen = F'{d) , welche allen ganzen Zah- 

 len G des Körpers entsprechen. 



Wir stützen uns nun auf die gewonnenen Resultate , um die Con- 

 stitution des Grundideals b zu erforschen, d. h. um zu untersuchen, 

 ob und wie oft ein gegebenes Primideal p als Factor von b auftritt. 

 Zu diesem Zweck wählen wir die ganze Zahl 6 so, dass der Führer t 

 der durch sie erzeugten regulären Ordnung u nicht durch p theilbar 

 ist, und behalten alle in den letzten Paragraphen gebrauchten Bezeich- 

 nungen bei. Wir wollen jetzt zeigen, dass die beiden durch die Glei- 

 chung (10) und die Congruenz (14) in §.11. definirten Exponenten e 

 und m einander gleich sind. In der That, da die Zahl « nicht durch 

 p theilbar ist, so folgt aus der dortigen Congruenz (16) 



Q'" = 0 mod. p% 



und hieraus zunächst m>e; dies leuchtet unmittelbar ein, wena 

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