ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 51 



Fundamentalsatze (C. §. 6) in der Theorie der höheren Congruenzen 

 e>w sein. Oben haben wir aber schon bewiesen, dass m>e ist, und 

 wir erhalten folglich das Resultat 



(1) m = e, 



wo e (zufolge §. 11, (10)) den Exponenten der höchsten in p aufge- 

 henden Potenz von p bedeutet. Zugleich ist also 



(2) F{t) = A{t) P{ty {mod.p), 

 d. h. 



F{t) = A(t)P{ty—2'>^[t)^ 



und wir wollen beiläufig bemerken, dass, wenn e>l ist, die hier auf- 

 tretende Function M[t) nach dem Modul p nicht durch P[t) theilbar 

 sein kann; denn P[B) ist in diesem Falle (zufolge §.11) nicht theilbar 

 durch p^, und folglich ist p* die höchste Potenz von p, welche in der 

 linken Seite der Gleichung 



A[e)P[dY = pM{e) 



aufgeht, und da p' auch in p aufgeht, so kann M[d) nicht durch p 

 theilbar sein, woraus unsere Behauptung folgt, welche von Interesse 

 für die in der früheren Abhandlung (G. §. 3) ausgeführte Untersuchung 

 der Function M[t) ist. 



Durch Difl'erentiation der Congruenz (2) ergiebt sich nun, wenn, 

 wir zur Abkürzung 



(3) B[t) = P{t) Ä{t)-\-eÄ{t) P'{t) 

 setzen, die folgende Congruenz 



(4) F'{t) = B{t)P{ty-' (mod.jö), 

 aus welcher zunächst 



(5) = J5(ö) P(ö)^-i (mod.p), 

 also jedenfalls 



G2 



