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(6) ~ 0 (mod. 



folgt. Um aber zu entscheiden, ob die höchste in ö* aufge- 



hende Potenz von p ist, müssen wir zwei wesentlich verschiedene Fälle 

 unterscheiden. Erstens, wenn der Exponent e nicht theilbar 

 durch ^ ist, so geht aus (3) hervor, dass die Function B(t) nach dem 

 Modul p nicht durch P{t) theilbar ist, Aveil dasselbe auch von A[t) 

 und P'{t) gilt; mithin ergiebt sich aus (4), dass F\t) nach dem Modul 

 p nicht durch P{ty theilbar ist, und hieraus folgt nach einem frühe- 

 ren Satze (§. 11, (11) und (11')), dass die Zahl F'{e) nicht durch f 

 theilbar ist ; mithin ist in diesem Falle p^~^ die höchste in der Zahl 

 aufgehende Potenz von |). Zweitens, wenn der Exponent e 

 theilbar durch p ist, so ist die Function B{t) offenbar durch P(?), 

 mithin F\t) durch P{tY theilbar (mod. p), woraus sich ergiebt, dass in 

 diesem Falle die Zahl 6^ mindestens durch |)% vielleicht aber auch 

 durch noch höhere Potenzen von p theilbar ist. 



Da nun der Führer f nicht durch p theilbar, und (zufolge 

 10, (11)) 



oö* = bf 



ist, so sind die Ideale o9* und b durch gleich hohe Potenzen von p 

 theilbar, und somit erhalten wir den folgenden Fundamentalsatz: 



Ist p ein beliebiges Primideal, p die durch p theil- 

 bare rationale Primzahl, und p' die höchste in p aufge- 

 hende Potenz von p, so ist das Grundideal b allemal theil- 

 bar duv(;li p'-i; ist ferner der Exponent e nicht theilbar 

 durch p, so ist b nicht theilbar durch p'; ist aber e theil- 

 bar durch p, so ist b theilbar durch p' und vielleicht durch 

 noch höhere Potenzen von p. 



§• 14. 



Man erkennt leicht , dass der Satz über die Theilbarkeit der Grund- 

 zalil 1) durch eine Primzahl p, von wclcliem wir in §. 3. einen unvoll- 



