ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 53 



ständigen, in den folgenden §§. 4 — 6. aber einen vollständigen Beweis 

 gegeben haben, jetzt aus der Verbindung des eben gewonnenen Resul- 

 tates über das Grundideal b mit dem Satze iV(b) = (D) unmittelbar 

 hervorgelien muss. In der That, wenn die rationale Primzahl p durch 

 das Quadrat eines Primideals p theilbar ist, so geht p jedenfalls in 

 dem Grundideal b auf, dessen Norm [D) mithin durch iV(p), also auch 

 durch p theilbar ist. Umgekehrt, wenn D, also auch iV(b) durch p 

 theilbar ist, so muss nach einem bekannten Satze (Z. §. 174, 8.) das 

 Ideal b selbst durch ein in p aufgehendes Primideal p theilbar sein, 

 und folglich muss in p aufgehen, w. z. b. w. 



Aber es leuchtet ein, dass wir durch diesen Satz über das Grund- 

 ideal b eine viel tiefere Grundlage gewonnen haben, insofern derselbe 

 die Constitution dieses Ideals und folglich auch diejenige der Grund- 

 zahl D — von gewissen singulären Fällen abgesehen — genau be- 

 stimmt. Ein solcher Ausnahmefall tritt nur dann ein, wenn der Ex- 

 ponent e der höchsten in p aufgehenden Potenz von p selbst durch p 

 theilbar ist, und da e niemals grösser als der Grad n des Körpers sein 

 kann, weil die Norm von in jj" aufgeht, so können von der in un- 

 serem Satze enthaltenen Unbestimmtheit höchstens solche Primzahlen p 

 getroffen werden, die^w sind. Diese Unbestimmtheit ist auch in der 

 Natur der Sache selbst begründet und nicht etwa einem Mangel in 

 unserer Untersuchung zuzuschreiben ; es wird wenigstens nicht leicht 

 sein, diese Ausnahmefalle doch auf bestimmte einfache Gesetze zurück- 

 zuführen. In der That, wenn der Exponent e durch p theilbar ist, 

 und wenn man mit r den Exponenten der höchsten in b aufgehenden 

 Potenz von p bezeichnet, so kann es geschehen, dass r =^ e ist, aber 

 es kann auch r'^e sein, ja man kann sogar, wenn irgend ein Viel- 

 faches von e gegeben ist, Fälle nachweisen, in denen r dieses Viel- 

 fache überschreitet. Um die grosse Mannigfaltigkeit der hierbei auf- 

 tretenden Erscheinungen darzuthun, wollen wir nur zwei Beispiele 

 anführen. 



Ist i2 ein quadratischer Körper, also % = 2, und p eine in 

 der Grundzahl D aufgehende Primzahl, so ist p durch das Quadrat 



