ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 



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so ist 



(f){m) - — af, n = aef, 



und man findet, dass 



Qp = (pi^^2 . . . 



ist, wo pi, p2 • • • "^'011 einander verschiedene Primideale vom Grade 

 f sind. Diese Zerlegung gilt für jede Primzahl p, auch wenn sie in m 

 nicht aufgeht und folglich durch kein Primideal- Quadrat theilbar ist 

 {s = 0, e = 1); uns interessirt aber nur der entgegengesetzte Fall 5>0, 

 und dann ist 



o(l-r') = . . . p„. 



Bezeichnen wir mit p irgend eins dieser Primideale, so hat die höchste 

 in p aufgehende Potenz von p den Exponenten 



e = (2^ — 1)/-^; 



bezeichnet man ferner mit r den Exponenten der höchsten in dem 

 Grundideal b aufgehenden Potenz von p, so ist 



b = a(l— 



wo a relatives Primideal zu p ist, und 



r = se — = {s{p — 1) — l)p^~^. 



Der Exponent e ist nur dann nicht durch p theilbar und zwar = p — 1, 

 wenn s = 1 , also m nicht theilbar durch p' ist , und zugleich ist der 

 Exponent 7' = e — 1 = p — 2; ist aber m theilbar durch p^ , also s>2, 

 so ist e theilbar durch p , und zugleich r > e , ausgenommen den Fall 

 p = 2, s = 2 , in welchem r = e = 2 ist. 



Da man m so wählen kann, dass s beliebig gross ist, so wird 

 hierdurch unsere obige Behauptung gerechtfertigt, dass es Beispiele 

 giebt, in welchen der Exponent r ein beliebiges, gegebenes Vielfaches 

 (s — l)e des Exponenten e überschreitet. Achtet man aber zugleich auf 

 die höchste in e selbst aufgehende Potenz von p (welche in unserem 



