Hes nombres naturels ; c'ell la progrcfion exemplaire 

 dont toutes les autres ne font que des copies , ou des 

 multiples déterminés par m. Ce qui n'empêche pas 

 qu'il ne puiffe s'y joindre une grandeur acceïibire 

 commune à tous les termes. 



Quel que (oïtp ; ïi m ou la différence cft pofitive , 

 là progrcjjion eft croiffante ; & décroiffante , fi elle efr 

 négative : mais de l'une pour la faire devenir l'autre , 

 fi cela paroît plus commode , il n'y a qu'à la ren- 

 verfer. 



Sïp &Cm ont des lignes femblables j le même figne 

 règne dans tout le cours de la progrejfîon; s'ils en ont 

 de contraires , la progrcjjion en admet auffi de diffé- 

 rens. C'eft d'abord celui de p , qu'elle conferve plus 

 ou moins long-tems, félon le rapport de/? à jn : puis 

 elle prend celui de m , pour ne le plus perdre. Les 

 termes affeftés du même iigne s'y trouvent donc tous 

 de fuite du même côté ; à la différence de la progref- 

 Jïon géométrique , où les fignes , "quand elle en admet 

 de différens , font entremêlés & alternatifs. 



Si p eft l'origine d'une progreffion décroiffante vers 

 la droite , il peut l'être égalem.ent d'une progrcfjion 

 décroiffante vers la gauche , dont la différence iera 

 encore m. Toute progre[fzon a donc effentiellement 

 deux branches , l'une croiffante , l'autre décroiffante, 

 qui s'étendent en fens contraire , & toutes deux fe 

 perdent dans l'infini; ou, fi l'on veut , ce n'en eft 

 qu'une feule , croiffante ou décroiffante dans tout fon 

 cours , félon le côté duquel on voudra la prendre , 

 mais qui n'a ni commencement ni fin. Ce que nous 

 en pouvons connoître n'eff qu'un point pris vers le 

 milieu : c'eff la figure du tems comparé à l'éternité. 



Venons préfentement à ce qui eft de détail. En 

 toute progrcjjion, on peut diftinguer cinq principaux 

 élémens. 



Le premier terme, ..... p' 



Le dernier , -, dé 



La différence , ....... m. 



Le nombre des termes , • . . t\ 

 La fomme de la progrcjjion , .s 

 Or de ces 5 élémens , 3 pris comme on voudra étant 

 connus , on connoît les deux autres : & comme cinq 

 chofes peuvent être combinées dix fois trois à trois , 

 il en réfulte autant de cas , pour chacun defquels on 

 trouvera par ordre dans la table fuivante la valeur 

 des deux inconnues. La démonffration s'en peut dé- 

 duire aifém.ent du petit nombre de principes qui vien- 

 nent d'être établis ^ 



Connues. Inconnue». 



n = — 4- i 6 



\' m ' 



1°. {^d . 



Itîi s=zd-{-px"' 



2°. ......... . . 



I rt s=.d-^.pX^i. 

 iD n ~ — . 



r- <^ 



" d~p 



n— I 



ip dzzzp ■\. mX n— I» 



4°. <m ' * . . . . 



n s= d -i^ pXr- 



5°. <m 



s d= /» X /z — I* 



6^ <n 



a-i 



43 î 



p =x d— mXn 



II 



Sz=:d+pX 



8°. 



l/' — ii + i^-J-^-L.i 



' m * mm ' m'a' 



10^ 







P 







1 s 





p 



n 





m 



d - p 







n — I. 







P 



=.- — mX 



^=ir -P- 



On ne peut faire de queffion réfoluble par la pro^ 

 grejjion arithmétique , qui ne foit réfolue d'avance 

 par quelqu'une de ces formules. 



On peut comparer deux progrejjions ^ \qs ajeûter j 

 les.fouftraire; & c'eff quelquefois un moyen facile 

 de réfoudre certaines queffions plus compliquées. 

 Au reffe il fufiit d'exécuter ces opérations fur les 

 premiers termes & fur les différences des progrefjions 

 propofées ; la nouvelle progreffion qui en réfulte re- 

 préfente la fomme ou la différence des deux pre- 

 mières. 



La fomme offre peu de chofes à confidérer ; nous 

 nous bornerons donc à la différence , & nous la fup- 

 poferons repréfentée par cette progrcjjion P.P ~[-M.F 

 M. ècc. qué pour cette raifon nous nommeront 

 la différentielle. 



Telle eft fa propriété , que chacun de fes termes 

 exprime le rapport arithmétique des deux termes 

 correfpondans dans les deux progrej/ions dont elle eft la 

 différentielle, & fa fomme prife à quel terme on vou- 

 dra celui de leurs fommes prifes à ce même terme-. 



Quand on ôte une quantité d'une autre , il eft na- 

 turel que ce foit la plus petite qu'on ôte de la plus 

 grande ; mais c'eft , quand il s'agit de progrcjfions , 

 fur quoi il eft aifé de fe méprendre : à moins que 

 quelque circonftance particulière n'oblige d'en ufer 

 autrement, c'eft moins ce qu'elles font qu'il faut con- 

 fidérer dans cette comparaifon , que ce qu'elles peu- 

 vent devenir. La plus grande n'eft donc pas celle 

 précifément qui préfente d'abord les plus grands 

 termes , mais celle en général dont la différence eft 

 la plus grande. En effet , quelque avance que puiffe 

 avoir l'autre à raifon de fon premier terme (pourvu 

 qu'il refte fini) ; celle-ci l'atteindra plutôt ou plus 

 tard , la furpaffera enfuite , &: toujours de plus en 

 plus. 



M fera donc toujours pofitif ; mais P peut être 

 négatif, & c'eft lorfque la plus grande différence fe 

 trouve dans l'une des deux progrcjfions primitives 

 jointe au plus petit premier terme. 



Toutes les fois que P eft négatif, o eft un terme de 

 la progrcjjion , exprimé ou fous-entôndui II eft expri- 

 mé fi P eft mAdtiple de M , comme en cette progrcj- 

 fon (— 4. — 2, o. 2. 4. &€.') Si P n'eft pas multiple de 

 M i comme en cette autre (— 4. — i. 2. 5. d-c.) ; o 

 n'eft pas un term.e prononcé de la progreffion , mais 

 il eft toujours fous-entendu entre les deux termes 

 confécutifs qui ont des fignes contraires ; & pour le^ 

 faire paroître , il n'y auroit qu'à introduire entre cha- 

 ques deux termes de la progrcjjion le nombre conve^ 

 nable de moyens proportionnels , ou , ce qui revient 

 au même , réduire la différence* 



Dans l'un & dans l'autre cas , le nombre des ter- 

 mes qui précèdent 0 eft exprimé par ^ ; avec cette 



différence que dans le premier ^ eft un entier , & 



