-^ue dans ie fécond il eil afFeâé d'une fraflîon. 



Pour avoir le rang du terme de la progreffion difFé- 

 rentielle oii fa fomme eft o (& par une fuite où les 

 fommes des deux progieffions comparées font égaies), 

 il eft clair qu'il n'y a qu'à prendre à la droite de o au- 

 tant de termes pofitifs qu'il en a de négatifs à fa gau- 

 che , c'eft-à-dire doubler ^, &L ajoûter i. Cette unité 

 qu'on ajoute repréfente le terme o lui-même , quand 

 il eft exprimé. S'il eft fous-entendu , il eft à obferver 

 que le refte que laift"e la divifion de P par ikf à la gau- 

 che de 0 , & fon complément à l'unité vers la droite, 

 font chacun en particulier pris pour un terme dans la 

 progre£ion. On compte donc deux termes pour une 

 feule unité du quotient. Pour que celui-ci puiffe 

 repréfenter le nombre des termes , il faut donc l'au- 

 gmenter de l'unité. On a donc dans tous les cas 



Ce feroit ici le lieu de donner des exemples : mxais 

 tous les livres élémentaires de mathématiques en 

 font pleins. Nous nous bornerons donc à un petit 

 nombre, choifis entre ceux où l'application des for- 

 mules de la table paroît fouffrir quelque difficulté. 



Exemple I. Entre deux nombres donnés p ^ 

 trouver un nombre quelconque r de moyens propor- 

 tionnels arithmétiques. 



Conlidérant p^d comme les extrêmes d'une pro- 

 grejjîon , dont le nombre des termes fera conféquem- 

 ment ( r 4- 2 ) , c'eft-à-dire le nombre même des 

 moyens à trouver -|- les deux extrêmes donnés. La 

 queftion fe rapporte au fécond article de la table , où 

 l'on trouve m = Mais n=.r 2 ; donc n — i 

 = r -}- î ; donc m Or la différence trouvée , le 



refte fuit. 



Si c'eft entre i & 13 qu'on demande trois moyens 

 proportionnels...—^^ = p^-^ = = 3 : & la/ro- 



^r^^o/z eft I. 4. 7. 10. 13. 



Exemple IL Deux voyageurs partent au même 

 inftant de deux termes oppofés diftans entr'eux de 

 1 3 5 lieues , & viennent à la rencontre l'un de l'autre, 

 la marche du premier étant réglée par jour fur les 

 termes correfpondans de cette progreffion arithméti- 

 que (i. 5. 9. à'c.') , & celle du fécond fur les termes 

 de cette autre (4. 7. 10. é-c) : on demande quel jour 

 ils fe rencontreront , & ce que chacun aura fait de 

 chemin. 



Les deux progrtjfions concourant au même but , 

 -qui eft de rapprocher les deux voyageurs , on voit 

 que c'eft par addition qu'il faut ici procéder. La fom- 

 me des deux /7r(9^A^/7zo«5 eft cette nouvelle (5. 12. 19. 

 .<^£.) ; où l'on connoît = 5 , = 7, 5 = 1 3 5 : ce 

 qui ramené la chofe au cinquième article de la table. 

 Le calcul donne , après les réductions « = 6 . . . pour 

 fatisfaire à la féconde partie de la queftion , il n'y a 

 plus qu'à faire (par l'article 4) les fommes particu- 

 lières des deux premières progrejîons ,oi\ l'on connoît 

 d'une part, 66 7 . 

 on trouvera ^^p^^\^g^ 69 f '^5 



Exemple III. Les autres circonftances reftant les 

 mêmes , ft l'on fuppofoit que les voyageurs partent 

 du même terme pour aller vers le même côté ; il eft 

 clair que le fécond prendra d'abord de l'avance , mais 

 que le premier l'atteindra plûtôt oii plus tard: on de- 

 mande le jour précis que cela arrivera. 



La marche de l'un des voyageurs tend à procurer 

 leur réunion , tandis que celle de l'autre tend à la re- 

 tarder ; leur effet étant contraire , c'eft donc la fou- 

 ftraûion qu'il faut employer. Otant la féconde pro- 

 greffion de la première ,1a différentielle eft (—3.-2. 

 _ I. D'ailleurs quand le premier voyagetir at- 

 teindra le fécond , ils auront fait l'un & l'autre le 

 même chemin, les fommes de leurs progreffions ref- 



pe£lives feront donc égales , & par une fuite celle de 

 la ditTérentielle fera o ; c'eft-à-dire qu'on connoît dans 

 celle-ci P=: — 3 , M=. i , ^ = o) ; ce qui ramené en- 

 core la queftion au cinquième article de la table. Ou 

 bien on fe fervira de la formule particulière 



(tz = y^-}- I . De l'une & de l'autre manière, on trou- 

 vera également ^ = 7 ; c'eft-à-dire que le premier 

 voyageur atteindra le fécond à la fin du feptieme 

 jour , l'un & l'autre ayant fait 9 1 lieues. 



Au lieu de comparer deux progrefjîons , on peut 

 comparer une progreffion avec une fuite de termes 

 non croifTans & tous égaux entre eux a. a. &c.) : 

 mais en confidérant celle-ci (malgré la contradiûion 

 que renferme cette idée) comme une progreffion dont 

 la différence feroit o , cette circonftance ne changera 

 rien à la méthode qu'on vient d'employer pour ré- 

 foudre la dernière queftion , ainfi qu'on va le voir. 



Exemple IV. Des efclaves fe lauvent dans une 

 barque qui n'eft équipée que de rames , & font cha- 

 que jour 1 2 lieues , en ayant 50 à faire pour fe ren- 

 dre au port ami le plus prochain. Un vaiiTeau les 

 pourfuit , dont la route contrariée d'abord par divers 

 obftacles , puis fécondée d'un vent qui devient de 

 plus en plus favorable , eft réglée par jour fur les ter- 

 mes correfpondans d'une progreffion arithmétique 

 dont le premier terme eft 6 & la différence 5 . . . Les 

 efclaves feront-ils repris ? quel jour le feront-ils? & 

 à quelle diftance du port ? 



Appliquant , fi l'on veut , la formule particulière 

 (/z = 1^ -j- i) ; comme on a ici P = 12 — 6 = 6^5^ 

 M— 5 — o = 5 : on trouve ;z = ^ 4- i = 3 -j- |. . . . 

 Les efclaves feront donc repris ; ils le feront aux j- 

 du quatrième jour, à 9 f lieues du port qu'ils cher- 

 chent , n'ayant fait encore que 40 y lieues. Car leur 



route eft 1 2 X 3~FJ= 1 2 X -^f = = 40 H- ; &: 

 c'eft aufîi la fomme de la progriffion. Voye:^ le mémoire 

 inféré à la fin de cet article. 



Progreffion géométrique. On la défigne par ce ca- 

 raftere (-H-) qu'on met en tête de la fuite , dont les 

 termes font diftingués entre eux par de fim.ples 

 points . . . -^^ I. 2. 4. 8. &c. eft une progreffion géo- 

 métrique ; où l'on peut obferver que 2 eft moyen 

 géométrique entre i & 4 , 4 entre 2 & 8 , &c. & 

 que de deux termes confécutifs le fécond n'eft que 

 le premier multiplié par l'expofant (2) de la progref- 

 fion. L'analogie eft fi marquée & ft foutenue entre 

 les deux progreffions , que ce qui a été dit de l'arith- 

 métique , pourroit en quelque forte fufïire pour faire 

 connoître la géométrique ; en obfervant qu'où celle- 

 là procède par addition & par multiplication , celle- 

 ci procède refpeûivement par multipHcation & par 

 exaltation. Au-moins pour ne pas laiffer perdre de 

 vue cette étroite affinité qui peut jetter un grand 

 jour fur l'une & fur l'autre , on affedera de fliivre ici 

 le même ordre & d'employer même , autant qu'il fe 

 pourra , les mêmes expreftions qu'on a fait plus haut 

 pour l'Arithmétique. 



Nommant p le premier terme , & w l'expofant ; 

 toute progreffion géométrique peut être repréfentée 

 par celle-ci p. p m, p m'^. p m'i . &c. 



Chaque terme n'étant que celui qui le précède 

 multiplié par l'expofant de la progreffion ou par m le 

 fécond eft le premier X par la première puifTance de 

 7n ; le troifteme , le premier X par la féconde puif- 

 fance de , & ainfi de fuite : enforte que chaque 

 terme n'eft que le premier x par la puiffance de m , 

 dont l'expofant eft moindre d'une unité que le rang 

 qu'il occupe dans la fuite , ou , ce qui eft la même 

 chofe , égal à la différence de fon quantième à celui 

 du premier terme. Ce qui donne le moyen de trouver 

 direftement tel terme d qu'on voudra , pourvu qu'on 

 fâche quel quantième il eft, & qu'on connoiffe d'ail- 

 leurs 



