leurs p & m. Si n eil le quaiitieme, on aura le tefme 

 même , ou J = / /;z " ~ * 



D'où Ton tire , fuivant le befoin 



m 



Dans cette dernière égalité , le fécond membre èft 

 îe quotient du plus grand des deux terme» comparés 

 divifé par le plus petit , duquel on a extrait la racine 

 défignée par la difFérencè de leurs quantièmes ; & 

 comme p ^ d font indéterminés , il réfulte qu'on 

 obtiendra toujours m ou l'expofant de la progre^on, 

 en divifantle plus grand de deux termes quelconques 

 par le plus peàt, & tirant du quotieat la racine déii- 

 gnée par la ditlerence de leurs quantièmes. 



Il fuit que qui connoît les deux premiers termes 

 d'une progrejjîon , en connoît l'expcfaii!: , & des-là 

 toute la progre(jion. Il n'eft pas même néceiTaire que 

 les deux termes connus foient les deux premiers ; ils 

 peuvent être quelconques , pourvu qu'on fâche leurs 

 Quantièmes. Car d'abord on aura l'expolant de la 

 progreffion par la formule de m , en fubilituant à 

 ( /z — I ) la différence donnée des quantièmes des 

 deux termes ; enfuite on aura le premier terme par 

 celle de /> , en y fubftituant à d celui qu'on voudra 

 des deux termes donnés , & à /z fon quantième. Si 

 63 & 567 font les troifiem.e & cinquième termes 

 d'une progrcjjinn , l'expofant de celle-ci eft 



Si l'on compare les deux termes extrêmes , foit 

 avec deux autres quelconques également éloignés 

 de l'un & de l'autre^ foit avec celui du milieu quand 

 le nombre total en ell impair ; il eft clair que les qua- 

 tre termes comparés dans le premier cas , & les trois 

 dans le fécond , font en proportion. D'où il fuit 

 (^Foyei Proportion) que le produit des extrêmes 

 eft égal à celui de tous autres deux termes pris à di-^ 

 ftance égale de l'un ôc de l'autre , & de plus au quarré 

 du terme du milieu, quand le nombre des- termes eft 

 impair. 



Il eft démontré (^P'oyei PrôroRTIOn) qu'en tôutef 

 proportion & par une fuite , en toute progrefflon géo' 

 métrique , la fomme des anîécédens eft à "celle des 

 conféquens comme celui qu'on voudra des antécé- 

 dens eft à fon conféquent; comme le premier terme, 

 par exemple , eft au fécond : mais dans une progref- 

 Jion tous les termes font antécédens hormis le der- 

 nier (/? //z " - ' ) ; tous font conléquens hormis le pre- 

 mier (/P ) : nommant donc s la fomme de tous les ter- 

 mes de la progrejjîon , la fomime des antécédens peut 

 être repréfentée par Çs —p m" ~ ') , &c celle des con-^ 

 féquens par ( 5 — /? ) ; on a donc s —pm^-'^s—p 

 l'.p.p m:: i.m. Donc s m ~ p m"=z s — p ; ow bien 



n 



sm—s — pm''—p:QVi bien encore s — 



c'eft en effet l'expreftion générale de la fomme de 

 toute progrejjîon géométrique : ce qu'on pourroit en- 

 core prouver de cette manière. 



Si l'on fuppofé/ = î , la formule 

 duit à = - • Mais il a été démontré (art. 



m — i m — i \ 



Exposant fur la fin) 1°. que donne toujours 

 un quotient exaâ: ; 1°. que ce quotient eft formé de 

 termes qui ont tous le figne + J&c qui font par ordre 

 les puiflan ces fuccefîives & décroiifantes de m , de- 

 puis & y compris -vz " ~ ' jufqu'à m ° inclufivement , 

 c'eft-à-dire dans un ordre renverfé (ce qui ne fait 

 rien à la fomme) la progrejjîon qui a n pour nombre 

 de fes termes , i pour premier terme 3 éc m pour ex- 

 T^mc XIII , 



re- 



41: 



ftoiant. Sa fdi^me eft donc exaâem.entrepféf entée pàif 

 & par conféquent celle de toute autre pro- 

 grejjîon. qui auroit pour premier terme tm nombre 

 quelconque p , le fera pareillement par 



La fuppofitlon qu'on vient de faire de / l rend 

 plus fimpie Fexprelîion de la progrejjîon ; elle devient 

 ^i. m, m m\ Ôic.) ou {jn °, m '. m \ m \ ÔCC.) eA ' 

 forte qu'il n'y entre plus qu'une feule lettre , qui eiï 

 rexpoîant de h progrejjîon , k laquelle p , pris pour un 

 nombre différent de m , n'eft point effenîiel. ; . La 

 fuite des nombres naturels (o. i. i. ^. &c.) fe re- 

 trouve donc encore ici : mais 'au lieu qu'ils étoient 

 les coëriiciens de //z dans h progrejjîon arithmétique 3 

 ils font ici les cxpdfans de fes puiifances* 



Si m := I , il if y a point de p'og^ejjîon , mais une 

 fuite de termes tous éguùx ; car i élevé à quelque 

 puifTancG que ce loit , reftamt toujours i ^ & 1 ne 

 changeant point les grandeurs qu'il multiplie , les 

 termes de la p'ogrtjjwn prétendue ne feroient tous 

 que le premier répété. 



Si > I , \à progrejjîon eft croilTante. 



Si m < I , la prog ejjîon eft décroifTante ; m.ais" 

 pour la rendre croiftante , il n'y a qu'à la renverfer. 



Quant aux fignes qui affeûent les termes d'une 

 progrejjîon géométrique , voici à quoi tout fe réduit. 



Quand m eftpofuif, tous les termes ont le même 

 ligne , qui eft celui de p. 



Quand m eft négatif les lignes font alternatifs ; de 

 forte que le figne de p détermine celui des termes im-- 

 pairs . 



On voit que pour avoir la fomme ^xinQ.prngnJJîon. 

 de cette dernière eipece, il la faut Concevoir réfo'ue 

 en deux autres , formées , l'une des termes pofuifs ^ 

 l'autre des négatif , & qui aient pour expofant com» 

 mun non plus fnnpiement m , mais fon quarré m *. 

 On fera féparément la iumme de chacune de ces pro-^ . 

 grejjîons , & leur différence fera la fomme de la pro- 

 grejjîon entière. Elle aiu'a le ligne du dernier terme ^ 

 fi la progrejjîon eft croiftante ; & celui du premier, ft 

 elle eft décroiifantei 



Si (m") eif l'origine d'une progrejjîon croiffante verâ' 

 la droite , il peut l'être également d'une décroiffante 

 vers la gauche , où fes expofans feront négatifs , 

 m~' . rn''^ . &c. Toiite progrejjîon géométrique comme 

 arithmétique , peut donc fe concevoir divifée en 

 deux branches , l'une croiffante , l'autre décroiflante 

 depuis p , qtd s'étendent en fens contraire ^ & toutes 

 deux fe perdent dans l'infini. Ou , fi l'on veut , Ce n'en 

 fera qu'une feule , croiftante , ou décroiffante dans 

 tout fon cours , félon le côté duquel on voudra là 

 prendre, mais qui n'a ni commencement ni fin. 



En toute progrejjîon géométrique on peut confidé* 

 rer cinq principaux élémens. 



Le premier terme ^ 

 Le dernier, 

 L'expofant , 

 Le nombre des termes , 

 La fomme de la progrejjîon , 



Or de ces cinq élémens , trois pris comme on vou- 

 dra étant connus , on connoît les deux autres ; ce 

 qui forme dix cas , pour chacun defqùels on trouvera 

 par ordre dans la table fui vante la valeur des deux 

 inconnues. On y a exprimé n par les logarithmes ^ 

 parce qu'il eft toujours pluS commode & quelque^; 

 fois néceiTaire d'y avoir recourSé 



Connues, j hconnuésw 



Jog. m 



m — i 



4^ ii 



1 i 



