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n — i 



m — v-. 



Jd . . . . 



s — p 



s — d 



I l. d - l.p . - 



1. m 



j n -1 



i , p + s X m — , 



's 72= ~ i- + ï. 



Equation dont la réfo- 



6^ 



/TZ"' /7Z^ — - — l ZIZ O lution donnera Java- 



y p p kurdes. 



n . , . , 



S d = pm"~' 



m 



'm 



s = 



d p =. s s ^ dx m. 

 S°, Jm . . . , 



r Ld - Ip , 



n s n ^ î , d 



P= n- 

 m. 



10°. 



un 



s X 



^ s d-=. p ^ . 



Toutes les queilions qui appartiennent à la pro^ 

 grcjjîon géométrique font réfolues d'avance par quel- 

 qu'une de ces formules ; nous allons en faire l'appli- 

 cation à quelques exemples choifis propres à procu- 

 rer les éclairciffemens néceffaires. 



Exemple I. Entre deux nombres donnés p ^ d , 

 trouver un nombre quelconque r de moyens propor* 

 tionneîs géométriques. 



On connoît direftement les premier & dernier 

 termes de la progrejjîon fuppofée , & indirectement le 

 nombre des termes ( r + i. ). La quellion fe rapporte 

 donc au fécond article de la table, où l'on trouve 



n — I 



r + 1 



m ziz \/ i. — ]/ i : or l'expcfant trovive , le f elle fuit. 

 p p 



Que ce foit entre z & 54 qu'on demande deux 



■■ ,j j4 i 

 moyens proportionnels ;mz=:\/ z =: \/ 17 = 3 . Et 

 la/To^re^o^ eft 2. 6. 18^ 54. 



Exemple II., Un barril eft rempli d'un nombre c 

 de pots de vin; chaque jour un valet fripon en tire 

 un pot par la cle , qu'il remplace d'un pot d'eau qu'il 

 verfe par le bondôn : on demande combien , au bout 

 d'un nombre n de jours , il reliera de vin dans le 

 barril. 



Après lé premier jour , la quantité de vin refiante 



eft . . . * . . .-. . . . . c — I. 



après le 2^. c — i — =: — ^ — = c — i x -~* 



après le 3 ^. 



ce— ic+i cc+ic— I Ci — 5 Ci -F J -<r— i ■ c — il" 



c ' , \. c c ce c \ 



On voit ^ fans qu'il foit befoin de pouffer plus loin 



l'induâion , qu^il règne ici une progre£ion géométri- 

 que , où l'on connoît p (c ^ 1^ ^ m ^-7-^) >Scn: ce 

 qui ramené la queftion au 4® article de la tablé. 

 On y trouve le dernier terme ( duquel feul il s'agit 



ici) ou dz=: p m ' 



= c — I X - — 



c, - I 

 « — 1 



Si l'on fuppofe c = 20 , & /z = 4 ; la quantité dé 

 vin refiante dans le barril à la fin du quatrième jour^ 



fera ^ = ^ 



' 8000 



c reftant le même , fi l'on demandoit cctaibien il 

 faudroit répéter de fois ce manège , pour qu'il fe 

 trouvât dans le barril précifément autant d'eau que 

 de vin , c'efl-à-dire dix pots de l'une & dix pots de 

 l'autre. 



Alors on coniioîtroit (19), ^ (10) , & ^ (H). 

 La queflion fe réfoudroit donc par le premier arti^ 

 cle de la table , & l'on trouveroit 



_ l.d — l.p , 10000000 117 8753 , 



n = — z=^-£- + I = -LJJ2- J- 1 



+ 1 = 



i-2.ii7iî4 



1 3 + ; c'efl-à-dire que du 14^ pot il ne 

 faudroit prendre (foit pour le vin qu'on tire , foit pour 

 l'eau dont on le remplace) que la partie indiquée par 

 la fraftion. 



Exemple III. Trouver la fomme de la progreffion 

 infinie Q . ^. &e. ^ on fuppofe a <^ 



Les trois élémens connus font ïcip Ç^j^ ^ m Ç-^ 



& /z ( 00 ) ; ce qui ramené la queflion au quatrième 

 cas de la table. . . . m étant une fradion plus petite 

 que l'unité , rend la progrejffîon décroiffante ; mais on 

 fait que pour la rendre croifTante il n'y a .qu'à la ren- 

 verfer ; ou plutôt il n'y a qu'à renverfer la formule, 

 même qui donne la valeur de 5 ^ & l'appliquer fous 



■ 71 ... 



cette forme. Elle deviendra 5 = ^-^ ; où il n'y a 

 nul compte à tenir dans le numérateur du fécond 



^ i â 



terme (^pm")z= ^X'f^ ~ 5» + i , quantité infini-* 

 ment petite , puifque c'efl une grandeur finie divifée 

 par une autre infiniment grande. Subflituant donc - 



au lieu ûep, Sc i ~ ^ ou ^ , au lieu de i — ; on 



aiira 



T 



néral en toute /^ro^r^^o/^ainfi conditionnée , la fom-, 

 me efl le premier terme même , dont le dénomina- 

 teur a été diminué de l'unité. 



Il fuit que 



3* 9* 17 



12 5' 



&C.=zl. 



Deforte que pour avoir une progre^on infinie dont 

 la fomme foit un nombre quelconque entier pu rom- 

 pu c , il n'y a qu*à en choifir le premier terme ^ ^ 



tel que j-;^ = c (ce qu^on peut faire d'une infinité 

 de manières) , & d'ailleurs prendre ^ pour l'expc- 

 fant. 



Exemple IF. Pour donner une idée des accroilTe- 



mens rapides que reçoit la fomme d'une progrejjion 

 géométrique , au bout d'un nc-mbre , même aiTez mé- 

 diocre , de termes , en voici un exemple fur la pro- 

 gre§îon double , dont la marche efl une des plus len- 

 tes : il efl tiré , quant à l'hiflorique , de la Mathéma-- 

 tique univcrfellc du P. Caflel. 



L'inventeur du jeu des échecs ( y efl-il raconté 

 plus au long) fiit prefTé par fon roi qu'il avoit comblé 

 de gloire , de lui demander une récompenfe à fon 

 choix & proportionnée à la beauté de fa découverte. 

 Après s'en être défendu long-tems , il fe fit apporter 

 un échiquer , & le montrant au prince : ordonnez , 

 feigneur', lui dit-il, qu'il me foit délivré un grain de 



