tîè'è Bt Tordre qu'ils gardent entr'eux dans îâ ptdpôf^ 

 tion% 



Proportion ^éométriquè. Soient les deux rapports 

 géométriques a.b d>Lc.d, leurs e^tpofans font j & 7 : 

 a ^ 7 5 ies quatre termes qui les expriment peu- 

 Vent être difpofés en proportion* Pour cela il fuffit 

 d'écrire les deux rapports à la fuite l'un de l'autre , 

 les féparant par quatre points (: î) , . : : c . ; ce qui 

 s'énonce ainli : a eû k b comme c eft à & fignifie 

 ici que dans l'un & dans l'autre rapport, chaque con- 

 féquent contient fon antécédent , ou y eft contenu 

 précifément de la même manière. 



Sïa.By.c.d, on a (par la définition) = - ; mul- 

 tipliant par a G chaque membre de cette égalité , elle 

 fe change enèc = ad; enforte que le premier mem- 

 bre contient le produit des deux moyens , & le fé- 

 cond celui des deux extrêmes ; c'eft- à-dire qu'en 

 toute proportion géométrique , le produit des extrê- 

 mes eft égal à celui des moyens. Ce qu'on pourroit 

 encore démontrer de cette autre manière. 



Soit ^ = , on aura ailffi ~ = ; d'où l'on tire h =z 



gim,&cd=zcm:&t fubftituant ces valeurs de ^ & de 

 dà^ns ia. proportion, a. Biic.d ; elle fe change en 

 celle-ci , a . am:u . cm, oii'û eiï évident que le pro- 

 duit des extrêmes eft non-feulement égal , mais iden- 

 tique à celui des moyens. 



Dans la proportion continue h=zc, d'où bc=zcc 

 t=ad; c'eft-à-dire qu'alors le produit des extrêmes 

 eft égal au quarré du terme moyen. 



Réciproquement fi l'on ^bc = ad, divifant chaque 



membre par c , vient j = ^ , & par conféquent a . b 



llc.d; c'eft*à-dire que toute égalité (dont chaque 

 membre eft un produit de deux dimenfions), peut fe 

 réfoudre en une proportion , dont le produit des 

 moyens eft repréfenté par l'un des membres de l'é- 

 galité , & celui des extrêmes par l'autre. Et comme 

 il eft toujours aifé de réduire chaque membre de toute 

 égalité à être un produit de deux dimenfions (fans al- 

 térer fa valeur), la propofition devient générale. 



_ Il fuit qu'ayant une proportion , de quelque ma- 

 nière qu'on juge à propos d'en déplacer les termes , 

 pourvû qu'après le déplacement les termes de même 

 nom le confervent ou en changent tous deux , il y 

 aura encore proportion , puifque l'égalité entre le pro- 

 duit des extrêmes & celui des moyens n'en fera point 

 troublée. Mais la proportion ne lera pas toujours la 

 même , c'efl-à-dire que les rapports pourront chan- 

 ger, quoiqu'ils re fient toujours égaux entr'eux. 



La proportion fondamentale étant a .b:\c.d 

 a fept manières d'en déplacer les termes jous la con- 

 dition prefcrite ; mais de ces fept manières, il n'y en a 

 que deux qui aient mérité l'attention des anciens géo- 

 mètres , & auxquelles il leur ait plù de donner des 

 noms particuliers. 



Ils nomment alternando ou permutando celle - ci , 

 a.twb .d,oi\ l'on ne fait que tranfpofer entr'eux les 

 deux moyens. 



Ils nomment inymmdo cette autre , b .a: :d . c,oii 

 l'on ne fait que renverfer chacun des deux rapports 

 primitifs , mettant le conféquent à la place de l'anté- 

 cédent , & réciproquement. 



De la même proportion originaire , . : î c . , en 

 combinant diverfêment entr'eux par addition ou par 

 fouflraftion , les antécédens & les conféquens , on 

 en conclut encore plufieurs autres , &; la' légitimité 

 de la conclufion fe prouve en faifant voir (ce qui efl 

 îrês-facile) que la fomme des extrêmes y ell égale à 

 celle des moyens. 



1°. (En prenant pour Vantccédint de chaque rai- 

 Toim XIIL 



fon là fonimê ou la différence des deux termes qui la 

 compofent), «J-^ . ^: :c J-^/.*/. . . c'eft ce que les 



Géomètres nomment compohmdo fi c'efl le ligne 

 qu'on emploie , & dividmdo fi c'eft le figne —, 



2°. (En prenant au contraire pour conféquent de 

 chaque raifon la fomme ou la différence des deux ter- 

 mes qui la compofent) ^ a . a-^ b :ic .c -\- d. , . c'eil 

 ce qu'on appelle conv&rtcndo. " 



3 °. (En fubftituant à l'antécédent de la première 

 railbn la fom.me ou la différence des antécédens, & 

 au conféquent la fomme ou la différence des confé- 

 quens ; & prenant pour la féconde raifon l'une ou 



l'autre des deux primitives) <z + c . è -f- ^/ : : ^ ' Il ré* 



fuite de ce dernier mode , que la fomme des antécé- 

 dens eft à celle des conféquens , comme celui qu'on 

 voudra des antécédens efl à fon conféquent particu- 

 lier. (Propofition qui a fon ufage). 



Puifque (Jupra) bc-^ad, d=.^-. Ayant donc les 



trois premiers termes (a,b'.\c) d'une proportion , on 

 en trouvera toujours le quatrième d , en divifant lë 

 produit des moyens par le premier. C'eft le fonde- 

 ment de cette règle ft connue & d'un ft grand ufage , 

 qu'on nomme règle de trois. Voyez fon article. On 

 voit au refte qu'il ne feroit pas plus difEcile de trou^ 

 ver tel autre terme qu'on voudroit de la proportion , 

 dès qu'on connoîtroitles trois autres , & l'ordre qu'ils 

 y gardent entr'eux. 



Deux proportions ,a. .b\\c .d^^e .fwg.h, étant 

 données , fi l'on mukiplie par ordre les termes de 

 l'une par ceux de l'autre, les produits feront encore en 

 proportion , & l'on aura ae.bfWcg.dh,... On l'aura 

 prouvé, ft l'on fait voir que aedh^bfcg^ ou ce 

 qui eft la même chofe, que adx^h — bcxfg: or 

 c'eft ce qui eft évident; car i". ad=:bc, puifque 

 a.bwc .d\i.°, eh=fg, ]5uifque e.f'.'.g.h. Mais les 

 fadeurs d'une part étant égaux aux faûeurs de l'au^ 

 tre , les produits eux-mêmes ne peuvent manquer de 

 l'être. 



Ce qu'on vient de dire de deux proportions doit 

 s'entendre de 3 , de 4, ô-c. . . Si , au lieu de les m\iU 

 tipiier , on les divife l'une par l'autre ^ les quo- 

 tiens feront pareillement en proportion; & on le dé- 

 montrera par la même méthode & avec la même fa- 

 cilité. 



Il fuit que des racines proportionnelles donnent 

 des puiftances qui le font aufti, & réciproquement; 

 car les puiftances ne font que des produits , comme 

 les racines ne font que des quotiens , d'une efpece 

 particuHere à la vérité, mais dont la fingularité ne 

 les fouftrait pas à la loi générale qu'on vient d'éta- 

 bliri {JrticU de M. Rallier des Ourmes) 



Proportion harmonique ou musicale, efl 

 une troifteme efpece de proportion qui fe forme des 

 deux précédentes en cette forte : ft trois nombres font 

 tels , que le premier foit au troifieme , comme la dif- 

 férence du premier & du fécond eft à la différence 

 du fécond & du troifteme, ces trois nombres font en 

 proportion harmonique. 



Ainft les nombres 2,3,6, font en proportion har- 

 monique , parce que 2 : ^ : : i . 3 ; de même aufti qua- 

 tre nombres font en proportion harmonique quand le 

 premier eft au quatrième , comme la différence du 

 premier & du fécond eft à la différence du troifteme 

 & du quatrième. 



Amfi 24, 16 , 12,9, font en proportion harmoni-* 

 que. , parce que 24 : 9 : : 8 : 3. 



Si on continue la proportion àzxï^ le premier de ces 

 deux cas , on formera une progreffîon ou ferie harmo- 

 nique. V lye^ Série ou Suite. 



I , Si trois ou quatre nombres en proportion harmo- 

 nique y font multipliés ou divifés par le même nom- 



N n n ij 



