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éemeuranl toujours parallèle â elle-même , fe meiive 

 uniformément le long de A C ; enforte que la régie 

 P M i arrive en C, lorfque le rayon C A tombe en 

 CB ^ rinten'eftion continuelle M du rayon CN 6î. 

 de la règle PAf , décrira h. quadratrice À M D. 



Par la conftruftion , A N B i A N \ \ A c \ A P ' 

 e'eft pourquoi {i A N B =^ a , A c~ b ^ A N — x , 

 A P—y; on aura ax^by. Foyei Quadrature. 



La quadratriu de Tfchirnhaufen , efî: une courbe 

 tranfcendante AMmmB {fig. 23. ) , par le moyen 

 de laquelle on trouve également la quadrature du 

 cercle. M. Tfchirnhaufen l'a inventée à Timitation de 

 celle de Dinoftrate. 



Voici fa formation. Divifez le quart de cercle 

 AN B ^ & fon rayon A c , en un égal nombre de 

 parties , comme dans les premiers cas ; des points 

 P ,p &c. menez les lignes droites P M , p m &c. pa- 

 rallèles à CB ; 6c des points N/z, les lignes NM, 

 n m , parallèles à ^ c ; joignez les points ^ , M , 

 &: vous aurez la quadratricc , dans laquelle A N B^- 

 A N:\AC'. A P. 



Puifque AN B -, A N \\ A C : A P ^ Çx AN B=zà^ 

 Ac = b,AN=zx, 6cAP=y;ax=-by. Foye^ 

 Quadrature. On peut décrire cette courbe par 

 un mouvement continu , en fuppofant deux règles ^ 

 NM, 7-* M, perpendiculaires l'une à l'autre, qui fe 

 meuvent toujours uniformément & parallèlement à 

 elles-mêmes , l'une fur le quart de cercle A C, l'au- 

 tre fur le rayon . 



\ QUADRATl/M, ( Géog. une.) La notice de 

 Tempire nomme deux lieux de ce nom ; l'un dans la 

 première Pannonie ou la Norique Ripenfe , & ce lieu 

 paroît être aujourd'hui ^Vi^îélbourg ; l'autre (luu^ 

 dr^tum étoit dans la balfe Pannonie , & fe nomme 

 aujourd'hui Gurckfdd, ( ^. /. ) 



QUADRATURE , f,£ ttrmcde Géométrie ; manière 

 de quarrer ou de réduire une figure en un quarré , 

 ou de trouver un quarré égal à une figure propofée! 



Ainfi la quadrature d'un cercle, d'une parabole 

 d'une ellipfe , d'un triangle , ou autre figure fembia' 

 bie , confifte à faire un quarré égal en furface à 

 Tune ou à l'autre de ces figures, -^oye^ Cercle. &c, 



La quadrature des figures reftilignes eft du relTort de 

 la Géométrie élémentaire ; il ne s'agit que de trouver 

 leurs airs ou fuperficie , & de la transformer en un 

 parallélogramme reftangle. 



Il eft facile enfuite d'avoir un quarré égal à ce 

 reftangle , puifqu'il ne faut pour cela que trouver 

 une moyenne proportionnelle entre les deux côtés 

 du redangle. Foyci Aire , Quarré. J^oyei aufii les 

 méthodes particulières de trouver les fuperficies de 

 ces figures aux mots Triangle , Parallélo- 

 gramme , Trapese , &c. 



La quadrature des courbes , c'eft-à-dire la manière 

 de mefurer leur furface, ou de trouver un efpace 

 reûiligne égal à un efpace curviligne , eft une ma- 

 tière d'une fpéculation plus profonde , & qui fait 

 partie de la Géométrie fublime. Archimede paroît 

 être le premier qui ait donné la quadrature d'un ef- 

 pace curviligne , en trouvant la quadrature de la pa- 

 rabole. 



Quoique la quadrature des figures , fur-tout celle 

 du cercle , ait été l'objet de l'application des plus fa- 

 meux mathématiciens de l'antiquité , on peut dire 

 qu'on n'a rien fait de confidérabie fur cette matière , 

 que vers le miUeu du dernier fiecle ; favoir en 1657 , 

 que MM. Neil & Brounker , & après eux M. Chrif- 

 tophle \yren , ont trouvé les moyens de démontrer 

 géométriquemenr l'égalité de quelques efpaces cur- 

 vilignes courbes , avec des efpaces reclilignes. 



Quelques tems après , plufieurs géomètres , tant 

 anglois que des autres nations, firent les mêm.es 

 tentatives fur d'autres courbes , & réduifirent le pro- 

 blème au calcul analytique. Mercator en publia pour 



la première fois feifai en ï688 , dans unë dérnonf- 

 tration de la qtladrature de l'hyperbole de milord 

 Bro^îmker, dans laquelle il fefervit de la méthode de 

 Wallis pour réduire une fraftiori en une fuite infinie 

 par le moyen de la divifiôn. 



Il paroît cependant , pour le dire en pâflârit , ^ue 

 M. Newton avoit deja découvert le moyen de trou- 

 ver la quadrature des courbes par fa méthode des flu- 

 xions , avant l'année ié68. Voyei^ Fluxion. 



Meffieurs Chriftophe Wrend & Huyghens fè difpu- 

 tent^ la gloire d'avoir découvert la quadrature d'une 

 portion de la cycloïde. M. Leibnitz découvrit en- 

 fuite celle d'une autre portion ; & en 1699. M. Ber- 

 noulli découvrit celle d'une infinité de fegmens & 

 de feôeurs de cycloïde. Voyé^ les méin. de Pacad, 

 de iGcjC)^ 



Quadrature DU cercLë ^ eft la inaniere de 

 trouver un quarré égal à Un cercle donné. Ce pro- 

 blême a occupé inutilement les mathénlaticiens de 

 tous les fiecles. VQyei_ Cerclé* 



Il fe réduit à déterminer le rapport du diamêffe k 

 la circonférence , ce qu'on n'a pu faire encore juè 

 qu'ici avec précifion. 



Si ce rapport éroit connu ,• on aliroif àifemerit la 

 quadrature du cercle ^ puifqu'il eft démontré que fa 

 furface eft égale à celle d'un triangle reftarioîe qui a 

 pour hauteur le rayon du cercle , & pour bafè une 

 ligne égale à fa circonférence. Il n'eft donc befoirt 

 pour quarrer le cercle que de le redifier, P^oyet 

 Circonférence & P^ectification. 



Le problème de la quadrature du cercle ConfiftepfO^. 

 prement dans l'alternative de trouver cette quadratu- 

 re ou de la démontrer im.polîible. La plupart des géo^ 

 mètres n'entendent par quadrature du cercle que la pre- 

 mière partie de cette ahernative; cependant la fécon- 

 de refoudroitparfaitement le problême. M.Ne^t^ton a 

 déjà démontré dans le premier livre de fes principes 

 mathématiques , fecl. FL tom. XXFLIl. que la qua-^ 

 drature indéfinie du cercle, & en général de toute 

 courbe ovale , étoit impoftible , c'eft-à-dire qu'on 

 ne pouvoit trouver une méthode pour quarrer à vo-- 

 lonté_ une portion quelconque de l'aire du cercle • 

 m.ais il n'eft pas encore prouvé qu'on ne puifl'e avoir' 

 la quadrature abfolue du cercle entier. Si on avoit^ 

 le rapport du diamètre à la circonférence , on au- 

 roit, comme on l'a déjà dit, la quadrature du ccr* 

 cU , d'oii il fuit que pour quarrer le cercle il ilinit de 

 le redifier, ou plutôt que Tun ne peut fe faire fans 

 l'autre. Il n'y a point de courbe qui réellement & eri 

 elle-même ne foit égale à quelque ligne droite car 

 il n'y en a point que l'on ne puifle concevoir exac^ 

 tement enveloppée d'un fil , & puis développée $ 

 mais^ il faut pour les géomètres que ce qu'ils con' 

 noiflent de la nature de la courbe puifte leur fervir à 

 trouver cette ligne droite , ou ce qui revient au 

 même , il faut que cette ligne foit renfermée dans 

 des rapports connus, de manière à pouvoir elle-mê-« 

 me être exadtement connue. Or quoiqu'elle y foit 

 toujours renfermée , elle ne l'eft pas toujours de la 

 manière dont nous aurions befoin ; au-delà d'un cer-i 

 tain point qui n'eft pas même fort éloigné , nos lu- 

 mières nous abandonnent 6c aboutiflent à des té^ 

 nebres. 



Ceux qui defireront un plus grand détail fur 

 quadrature du cercle , peuvent avoir recours à l'ou-* 

 yrage que M. Montucla a publié en 1754. fur ce fu^ 

 jet , fous le titre ^hifioire d s recherches fur La quadra-^ 

 tun du cercle. Ils y trouveront un récit fidèle, fa-- 

 vaut &; raifonné des travaux des plus grands aéo-- 

 metres fur cette matière, & ils y apprendront! fe 

 prémunir contre les promefîes , les jadances & les 

 inepties des quadrateurs. Une de leurs principales 

 prétentions eft de croire que le problème de la ' qua-^ 

 drature du çenU eft fort important pour les longitu» 



