640 



Q U A 



des -, €îi quoi ils fe trompent groffierement, ces deux 

 problêmes n'ayant aucun rapport.^ 



Plufieurs géomètres ont approché fort près de ce 

 rapport. Archimede paroit avoir été un des premiers 

 qui ont tenté de la découvrir , & a trouvé par le 

 moyen des polygones réguliers de 96 côtés infcrits 

 & circonfcrits au cercle , que ce rapport efl com- 

 me 7 à 12. Voyci Polygone. 



Quelques-uns des modernes ont approché beau- 

 coup plus près , fur- tout Ludolphe de Ceulen qui a 

 trouvé après des calculs infinis , qu'en fuppofant 

 que ce diamètre foit i , la circonférence eft plus petite 

 que 3. 141591653589793238462.64338387950; 

 mais plus grande que ce même nombre en mettant 

 l'unité pour dernier chifre. 



Les géomètres ont encore eu recours à d'autres 

 moyens , fur-tout à des efpeces de courbes parti- 

 culières qu'on appelle qiiadratrices ; mais comme 

 ces courbes font méchaniques ou tranfcendantes , & 

 non point géométriques , elle ne fatisfait point exac- 

 tement à la folution du problème. Foyci Trans- 

 cendant, MÉCHANISME & QUADRATRICE. 



On a donc employé à l'analyfe ,^ & tenté de re- 

 foudre ce problème par plufieurs méthodes différen- 

 tes, & principalement en em^ployant certaines fériés 

 qui donnent la quadrature approchée du cercle par 

 une progreiTion de termes. Foy&i Série ou Suite. 



En cherchant par exemple une ligne droite égale 

 à la circonférence d'un cercle , on trouve en fuppo- 

 fant pour le diamètre , que la circonférence doit être 

 l_l_j_iL_i_|-| ^c. qui forment une fuite infinie 

 de fraftions dont le numérateur efl toujours 4 , & 

 dont les dénominateurs font dans la fi.iite naturelle 

 des nombres inégaux ; & tous ces termes font alter- 

 nativement trop grands & trop petits 



Si l'on pouvoit trouver la fomme de cette fuite , 

 on auroit la quadrature du cercle ; mais on ne l'a point 

 encore trouvée , & il y a même apparence qu'on ne 

 ia découvrira de long-tems. On n'a point cependant 

 démontré que la chofe foit impoffible , ni par confé- 

 quent que la quadrature du cercle le foit aufTi. 



D'ailleurs comme on peut exprimer la même gran- 

 deur par différentes fériés , il peut le faire aufïï que 

 l'on puifTe exprimer la circonférence d'un cercle par 

 quelque autre férié dont on puiffe trouver la fomme. , 

 Nous avons deux fuites infinies qui expriment la 

 raifon de la circonférence au diamètre , quoique 

 d'une manière indéfinie. La première a été décou- 

 verte par M. Newton , qui a trouvé^ en fuppofant 

 pour le rayon , que le quart de la circonférence efl 

 j _ A -1- _ -L- , &c. La féconde eft de M. Léibnitz , 

 qui trouve de 'même que le rayon étant l'arc de 45 

 degrés , eil la moitié i -^ + \-j-^i,à-c. Voici 

 la manière de trouver chacune de ces fériés par le 

 calcul intégral ; on la doit à M. Newton. 



Quadrature du cercle par M. Newton. Soit le rayon 

 du cercle A C— i {Planch. d'anal. fig, 24.) CP—x, 



r = 1/ (i - x^) , & v/ (i -^0 - I - 7 - i 



1 _î_ _ J- ^« - ^ - -:r ' % é-c. à l'infini. Foye^ 



Binôme. Donc F v m Af ou j dx — dx—'^x^dx 



-^\x' dx-ir^x'- 

 dx — &c. à l'infini. 



dx — 



1 5 6 



— X' 



Et sydx=x — jx'^ — 

 à l'infini. 



X' 



X- 



Lorlque x devient égal au rayon C A , l'efpace 

 D CPM(e change en un quart de cercle. Subflituant 

 donc I à ;c , le quart de cercle fera i —i — T^ — rh 

 _ _ , &c. à l'infini. Cett€ même férie peut 

 fervir à mefiîrer la furface entière du cercle , en fup- 

 pofant fon diamètre = i . 



Quadrature du cercle par M. Uibniii. Soit la tan- 

 gente K B {PL d'analyfefig. z5.) z^x BC=i;h 

 fecante A C infiniment proche deCK; décrivez avec 

 le rayon CKk petit arc K L vous auf sz AKu^d:^ 



Q U A 



K C = \/ Ç i X- Maintenant puifque les angles 

 B&cL font droits , & l'angle BKC-KAC,k caufe 

 de la petitelTe infinie de l'angle KC L ^ nous aurons 

 KC:BC\:KAKL , c'efl-à-dire 



V/(i-j-^'-): I ••^^•Trrr^ 

 De plus ,CK:KL:\CM:mM; c'efl-à-dire 



Donc \t{teLQmCMm—~dx:{i ■\- x"-) =:{(dx 

 - x^ d X + x'^ d X - x^ d X x^ d X - x'" &cr) & 

 l'on trouve , par le calcul intégral , le fefteur B C M 

 (dont la tangente X ^ efl ^) -ff a-^ -f 7^ ■^^ - tt 

 •^'^ + TT -^^ — ri ^ " (S'c. & ainfi à l'infini. C'efl pour- 

 quoi fi ^ Af efl la huitième partie du cercle ou un arc 

 de 45^. le feaeur fera { — ^ — tâ ^<^' 'à- l'infini. 

 Donc le double de cette férie i — \4-t— 7+^—77. 

 tic. à l'infini , efl le quart de cercle. 



Quadrature des lunules. Quoiqu'on n'ait point en- 

 core trouvé jufqu'ici la quadrature parfaite du cercle 

 entier, on a cependant découvert les moyens de 

 quarrer plufieurs de fes portions. Hippocrate de Chio 

 efl le premier qui ait quarré une portion du cercle à 

 qui fa figure a fait donner le nom de lunule, Foyei 

 Lunule. 



Cette quadrature ne dépend point de celle du cer- 

 cle ; mais aufii ne s'étend-elle que fur la lunule en- 

 tière ou fur fa moitié. 



Quelques géomètres modernes ont cependant 

 trouvé la quadrature d'une portion de la lunule à 

 volonté, indépendamment de celle du cercle; mais 

 elle efl toujours fujette à certaine reflridion , qui 

 empêche que la quadrature ne foit parfaite , ou , pour 

 me fervir du langage des Géomètres, abfolue &: in- 

 définie. 



M. le Marquis de l'Hôpital a donné en 1701 une 

 nouvelle manière de quarrer les parties de la lunule 

 prifes en différentes manières & fous différentes con- 

 ditions ; mais elle efl fujette aux mêmes imperfe- 

 ctions que les autres. 



Quadrature de l\ltip[e. L'ellipfe efl une courbe dont 

 on n'a point encore trouvé la quadrature exafte i ce 

 qui obUge d'avoir recours à une férie. 

 Soit A C {Plane, anal.fig. 2^.) = a , G C — C ,P C 



y 



^z=.c' {a^-x^):a\ 



y=zc\/{a''-x'l 



8 - 



7*' 



mais\/(a*— ^*)— ^— — 8<j3i^ «5 ii8a7 isSa? (fc. 

 X ,.•/«• T-.. t J cx'^dx cx^dx ex(> dit 



à l'infini. Donc ydxz=icdx — ^ TiTft" 



illlll _ Li.*_i!^ , &c. à l'infini. 



Si l'on fubflitue a au lieu &^x,\e quart de l'ellipfe 



a c 



n 5 r 



— - W ac —r^ 



fera ac — jac — j^ac — 

 ac ,&i.c. à l'infini. 



Il fuit de là 1°. que fi on fait / a c = i , l'aire de l'el- 

 lipfe fera = 1 — | — 7^ — rh— tt~ ■> ^ 

 l'infini. D'oii il efl évident qu'une eUipfe efl égak à 

 un cercle dont le diamètre efl moyen proportionnel 

 entre les axes conjugués de cette même ellipfe. z"*. 

 Qu'une ellipfe efl à un cercle dont le diamètre efl 

 égal au grand axe , comme a c k a"- ; c'efl-à-dire 

 comme c à , ou comme le petit axe efl au grand. 

 D'où il fuit que la quadrature du cercle donne celle 

 de l'ellipfe ; & au contraire. 



Quadrature de la parabole. Soit <z a;= jM'équatioa 



de la parabole , donc y axz= : donc y d 



x-=^<i 



x^ d X. Donc s y d X a 



X 



=z^Vax^ xy. 



D'oiiilfuitque l'efpace parabolique efl au re6l:an- 

 gle de la demi-ordonnée par l'abfcifTe comme f xy 

 à xy, c'eft-à-dire comme 2^3. 



