îa courbe n'étoit point décrite, & que ?on n'eût 

 •que fon équation , en forte que l'on ne sût point où 

 Ton doit fixer l'origine de x , on feroit x—o dans 

 l'intégrale ;& effaçant tout ce qui eft multiplié par 

 X , on ajouteroit le refiant , fuppofé qu'il y en eût , 

 avec un iigne_ contraire , & l'on auroit la quadrature 

 cherchée. Mais cela demanderoit un détail trop pro- 

 fond pour appartenir à cet ouvrage: on en verra un 

 exemple à la fin de cet article. 



Quadrature, de. V hyperbole. Mercator de Holflein, 

 l'inventeur des fuites infinies , efl le premier qui en 

 ait donne la quadrature analytique : il trouvoit fa 

 fuite par la divifion ; mais MM. Newton & Léibnitz 

 ont perfectionné fa méthode. 



Manière de quarrer l'hyperbole entre fes afymptotes y 

 fuivant la méthode de Mercator. Puifque dans une 

 hyperbole entre fes afymptotes , a^ = b y -\- xy ;ïi 

 = ^ = I , ce que l'on peut fuppofer , puifque la dé- 

 termination de b efl arbitraire', on aura 



c'eft-à-dire ( eû faifaiit actuellement la divifion) 



y^i^x-Js-x-" -x^ -{-x^ -x^ &c. 

 ydx—dx-xdx-\-x-dx~x ' dx-\-x ^dx-x^ -dx-\-x^ dx ^ &c. 



a 1 innni. 



Quadrature de la cydoide. On a dans cette courbe 

 {Pl. anal.fig. 2y.) A Q : QP : : M S : m S . 



Soit donc ^Q=x ,A B=:i ^ on aura PQ=v' 

 (x~xx) ^7nS = dx\/ (x -xx): x. Mais il efl 

 démontré que \/ {x — x x) = '' ' — { x^ ' ' — ^ 

 " —Tsx'^'^ &c. à l'infini. Donc dx\/ (x — xx) : 

 X =z les numérateurs des expofans étant diminués 

 d'une unité dans la divifion p^r x^ x— ^ d x — ^ : 

 '■ " dx-^x' '■ 'dx-^x^ "-dx&cc.k l'infini. 



Donc la fomme z x^ '' ' — ^ x' '' ' '~ x^ ^ l 



X - &c. 3. l'infini , efl la demi-ordonnée de la cy- 

 cloide Q M comparée à l'axe A P. D'où il fuit que 



Q U A 



AMQ ou l'élément Q M S q de l'efpace cycloïdal 

 AMQ=z ix' ^-dx-^x''-' dx-^x^ '"-dx-^ 

 x'^ ' dx &c. à l'infini. Donc la fomme = 4- ' ^ 



.■5 —7^^ —r^ix o-c. a 1 mfini , ex- 

 prime le fegment de la cycloïde AMQ. 



Si l'on multiplie m S d x \/ (jx — x x) \ x par 

 GM— AQ — x^on aura l'élément de l'aire AMG 

 ~dxy/ {x-xx) q^c:\ étant le même que l'élément 

 du fegment de cercle AP Q^ l'efpace A M G fera 

 égal au fegment de cercle Q , & par conféquent 

 l'aire D C égale au demi-cercle AP B. 



Puis donc que CE eil égal à la moitié de la circon- 

 férence du cercle , fi l'on iuppofe celle-ci =:p^AB 

 = ^ , le reftangle BCD A fera =. a p ; ^Aq demi- 

 cercle AP B ^ & par conféquent l'efpace cycloïdal 

 externe ADC~\ap. Donc l'aire delà moitié de la 

 ^doide A C B =^ 1 a p , A M C B PA a p. 

 D'où il fuit que l'aire de la cycloïde eil triple du 

 cercle générateur. 



Quadrature de la logarithmique. Soit la foutanc^ente 

 P T {Pl. anal.fig, z8 .) a , P M ^ x , P p d% on 

 aura 



y d X : d y — a 



y d X — a d y 



s y d X — a y 

 Donc l'efpace indéterminé -//P3f/ efl éoal au re^ 

 aangle de P M par P T. Soit i^.Qs^^ ^pour lors 

 1 eipace iSOH=^a^;8^ par conséquent ^ MPQ 

 -ay-a^=, a{y-()-^ c'efl-à-dire que l'efpace 

 compris entre deux ordonnées ell épal au reâanole 

 de la loutangente , par la différence^de ces ordo^n- 

 nées. 2^ Donc i'eipace B A P M eft à l'efpace PMSO 



comme la différence des ordonnées ABècP MoBik 

 celle des ordonnées P M &cS Q. 

 ^ Quadrature de la courbe de Dzfcartes ^ exprimée pc^. 

 r équation b' : x"^ '.\b ^ x : y, 



Puifque h^ y Ti^b x- — x^ 

 omy=(^bx ^ ~ x^ ) : b-' 

 y d X — (^b 



d X 



X- 



X 



s y d X z- x"' : b — x^ : 4 b^- . 



Quadrature de toutes les courbes comprifes fous Viqua^ 

 don générale y m y (^x -\- ay. 



Puifque j _ ( x + ^ ' 



on?iydxz:zdx(^x-\'ay''''' 

 Pour rendre l'élément intégrable , fuppofons 



on aura x-{-a = v'^ 



d x — m.y 



dv 



m + 1 



ydx — mv^dv 



sydx- ^— {x + a^^i^x-^ayoïix^r, 



m 



le reliant-^ a y/ a. Donc l'aire de la courbe 



77Z. 



_ Cette dernière opération efl fondée fur deux pjin^ 

 cipes. -1°. que l'aire de la courbe doit être nulle quand 

 X — o. 2°. Il faut que l'aire de la courbe foit telle que 

 fa différence foit ( x + ^ )^ = Or en ajoutant le 



confiant avec un figne contraire, on fa- 



tisfait à ces deux conditions , comme il efl facile de 

 s'en afsûrer. 



Comme les méthodes pour la quadrature des cour- 

 bes font prefque toutes fondées ou fur les fuites, ou 

 lur le calcul intégral, il s'enfuit que pour fe mettre 

 au fait de cette matière , il faut fe rendre famiher 

 1 ufage des fuites & les méthodes du calcul intéoral 

 Foyei Suite & Calcul intégral. (O) ^ 



Quadrature DE LA LUNE , en Afironomie , efl 

 1 afpea ou la fituation de la lune, lorfquefadiflance 

 au loieil ellde 90 degrés. Foyei Lune. 



La quadrature de la lune arrive lorfqu'elle efl dans 

 un point de fon orbite également diflant des points 

 de conjonaion&d'oppofiîion; ce qui arrive deux 

 tois dans chacune de les révolutions , favoirau pre- 

 mier & troiheme quartier. -^ojKe{ Orbite Oppo- 

 sition , & Conjonction* ' 



Quand la lune efl en quadrature on ne voit que la 

 moitié de fon difque ; on dit alors qu'elle efl dichoto^ 

 comme qui diroit coupée en deux. Foye? Pha- 

 se & Dichotomie. ^ 



Lorfqu'elle avance des fyfygies à la quadrature, fa 

 gravitation vers la terre efl d'abord diminuée par 

 aftion du foleil , &fon mouvement efl retardé par 

 fa même rai/on , enfuite la gravitation de la lune efl 

 augmentée jufqu'à ce qu'elle arrive aux quadratures. 

 Foyei Gravitation. 



A mefiire qu'elle s'éloigne de fes quadratures en 

 avançant vers les fyfygies, fa gravitation vers la 

 terre eft daûordaug,mentée, puis diminuée. Foyer 

 Sysygies. ^ 



A f 1^"^^ f'^^'^' felonM.Nex^ton, que l'orbite 

 de la lune efl plus convexe toutes chofes d'ailleurs 

 égales a fes quadratures qu'à fes fyfygies; c'efl aufïï 

 ce qui tait que la lune eft moins diflante de la terre 

 aux fyiygies , & l'efl plus aux quadratures toutes 

 choies égales. Foyei Orbite. 

 ^ Lorfque la lune efl aux quadratures , Ou qu'elle 

 n en elt pas fort éloignée , les apfides de fon orbite 

 ont rétrogrades ; mais elles font progrefTiyes auji 

 fyfygies. Foye^ Apsides. ^ ' 



