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AinCi le nombre i éîant un nombre qui , multiplié 

 par lui-même , donne le nombre quarré^ , efl: appeiié 

 la racine quarréc de 4. 



Puifque la racine quarric eft au nombre quarre , 

 comme l'unité eft à la racine quarréc , la racine eft 

 moyenne proportionnelle entre l'unité & le nombre 

 quarré. 



Une racine qnarrk qui a deux parties fe nomme 

 i'mome, comme 20 + 4. Fojq Binôme. 



Si elle a trois parties , on l'appelle trinôme, comme 

 6 + 2 — 1. /^oye;^; Trinôme. 



On démontre que chaque nombre quarrê d'une 

 racine binôme eft compofé du quarre de la première 

 partie , plus le double de la première multiplié par 

 la féconde , pkis le quarré de la féconde. 



Pour extraire la racine quarréc de tout nombre 

 donné, y'oyei Extraction & Racine. {E) 



Quarré quarré , c'eft la puiffance immédiate- 

 ment aii-delTus du cube, ou la quatrième puiffance; 

 ain(i eft un quarré quarré, parce que c'eft le quar- 

 ré du quarré a. (£) 



QuAE-RÉS MAGIQUES , en Arithmétique ,on donne 

 ce nom à des figures quarrécs formées d'une fuite ou 

 férié de nombres en proportion arithm^étique , àii- 

 pofés dans des lignes parallèles ou en des rangs 

 égaux ; de telle forte que les fommes de tous ceux 

 qui fe trouvent dans ime même bande horiiontaie , 

 verticale , ou diagonale , foient toutes égales entre 

 elles. 



Tous les nombres qui compofent un nombre quarré 

 quelconque , par exemple , i. 3 . 4. 6c. jufcpa'à 25 in- 

 clufivement, qui compofent le nombre quarré 25 , 

 ayant été difpofés de fuite dans une figure quarrét de 

 25 cellules, chacun dans la fienne; fi après cela on 

 change l'ordre de ces nombres , & qu'on les difpofe 

 dans les cellules de façon que les cinq nombres qui 

 compoferont une bande horifontale de cellules quel- 

 conques , étant ajoutés enfemble forment toujours la 

 même fomme que cinq nombres qui compoferont 

 toute autre bande de cellules ,ibit horifontale , foit 

 verticale , & même que les cinq qui compoferont 

 chacune ces deux bandes diagonales : cette difpofi- 

 tion de nombres s'appelle un quarré magique ^ pour la 

 dillinguer de la première dilpofition qu'on appelle 

 quarré naturel. Foye^ les figures fuivantes. 



Quarré naturel. Quarré magique. 



Q U A 



I 



2 



3 



_4 



J_ 



6" 



7 







10 



1 1 



II 



13 



14 



il 



16 



11 



18 



19 



20 



21 



2: 



') 





M 



16 





81225 



3 



22 



20' 1 1 9 



il 



T 



AiiliZ 



24 



78 



12110 1 



r 



7 



5 



2iji9,i3 



On pourroit croire que les quarrés magiques ont 

 eu ce nom , parce que cette propriété de toutes leurs 

 bandes , qui prifes en quelque fens que ce foit font 

 toujours la même fomme , a paru fort furprenante , 

 fur-tout dans certains fiecles où les Mathématiques 

 étoient fufpeûes de magie : mais il y a aufTi beaucoup 

 d'apparence que ces quarrés ont encore mieux mérité 

 leur nom par des opérations fuperflitieufes où ils ont 

 été employés, telles c^ue la conftniftion des talif- 

 mans ; car félon la puérile philofophie de ceux qui 

 donnoient des vertus aux nombres , quelle vertu ne 

 dévoient pas avoir des nombres fi merveilleux ? Ce 

 qui a donc commencé par être une vaine pratique 

 des faifeurs de talifmans ou des devins , eft devenu 

 dans la fuite le fujet d'une recherche férieufe pour les 

 Mathématiciens; non qu'ils aient cru qu'elle les pût 

 mener à rien d'utile ni de folide. Les quarrés magiques 

 fe fentent toujours de leur origine ; ils ne peuvent 

 être d'aucun ufage : ce n'eft qu'un jeu dont la diffi- 

 'çvlié fait le mérite , 'èc qui peut feulement faire naître 



fur les nombres quelques vues nouvelles, dont les 

 Mathématiciens ne veulent pas perdre l'occafion. 



Emniannuel Mofcopule , auteur grec du quator- 

 zième ou du quinzième fiecle , eft le premier que 

 l'on connoilTe qui ait parlé des quarrés magiques ; &C 

 par le tems où il vivoit , on peut foupçonner qu'il ne 

 les a pas regardés en fimple mathématicien : il a don- 

 né quelques règles pour les conftruire. On trouve 

 dans le livre d Agrippa, que l'on a tant accufé de 

 magie , les quarrés des fept nombres qui font depuis 

 3 jufqu'à 9, difpofés magiquement ; & il ne faut pas 

 croire que ces iept nombres aient été préférés à tous 

 les autres fans une grande raifon ; c'eft que leurs 

 quarrés font planétaires , félon le fyftème d'Agrippa 

 & de fes pareils. Le quarré de 3 appartient à Saturne, 

 celui de 4 à Jupiter , celui de 5 à Mars , celui de 6 

 au Soleil , celui de 7 à Venus , celui de 8 à Mercure , 

 & celui de 9 à la Lune. Bachet de Meziriac étudia 

 les quarrés magiques , fur l'idée qu'il en avqit prife 

 par les quarrés planétaires d'Agrippa ; car il ne con- 

 noiiToit point l'ouvrage de Mofcopule, qui n'eft que 

 manufcrit dans la bibliothèque du roi. Il trouva , lans 

 le fecours d'aucun auteur qui l'eût précédé, une mé- 

 thode pour les quarrés dont la racine eft impaire , 

 comme pour 25 , 49 , &c. mais il ne put rien trouver 

 qui le contentât fur ceux dont la racine eft paire. 



Après lui vint Frenicle. Un habile algébrifte avoit 

 cru que les 16 nombres qui compofent le quarré de 

 4, pouvant être difpofés de 20 922 789 888 000 ma- 

 nières différentes dans un quarré magique ou non ma- 

 gique , ce qui eft certain par les règles de combinai- 

 Ions , ces mêmes nombres ne pouvoient être difpofés 

 différemment dans un quarré magique qu'en 16 m.a- 

 nieres. Mais M. Frenicle fit voir qu'il y en avôit en- 

 core 878. D'où il eft aifé de conclure combien fa 

 méthode devoit être fupérieure à celle qui n'avoit 

 produit que la 55^ partie des quarrés magiques qu'il 

 trou voit. 



Il s'avifa d'ajouter à cette recherche une jliiHculté 

 qui n'y avoit point encore eu lieu. Le quarré magique 

 de 7 , par exemple , étant conftruit , & fes 49 cel- 

 lules remplies , fi on en retranche les deux bandes 

 horifontales de cellides & les deux verticales les plus 

 éloignées du milieu , c'eft-à-dire , toute l'enceinte 

 extérieure du quarré , il reftera un quarré dont la ra- 

 cine fera 5 , & qui n'aura que 25 cellules. Il ne fera 

 pas étonnant que ce petit quarré ne foit plus magi- 

 que ; car les bandes du grand n'étoient difpofées de 

 manière à faire toutes la même fomme , que prifes 

 dans leur tout & avec les 7 nombres qu'elles renfer- 

 moient chacune dans leurs 7 cellules : mais ayant été 

 mutilées chacune de deux cellules , & ayant perdu 

 deux de leurs nombres, il peut bien arriver que leurs 

 reftes ne fafîent plus par-tout une même fomme. M. 

 Frenicle voulut qu'une enceinte de quarré magique 

 étant ôtée , & même telle enceinte qu'on voudroit , 

 loriqu'il y en a aftez pour cela , ou enfin plufieurs en- 

 ceintes à la fois , le quarré reftant fût encore magi- 

 que ; & fans doute cette nouvelle condition rendoit 

 ces quarrés beaucoup plus magiques qu'ils n'avoient 

 jamais été. 



il renverfa aufll cette queftion ; il voulut qu'une 

 certaine enceinte prife à volonté , ou plufieurs , fuf- 

 fent inféparables du quarré ; c'eft-à-dire qu'il cefsât 

 d'être magique fi on les ôtoit , & non fi on en ôtoit 

 d'autres. M. Frenicle ne donne point de démonftra- 

 tioa générale de fes méthodes , & quelquefois il ne 

 fe conduit qu'en tâtonnant. Il eft vrai que fon traité 

 des quarrés magiques n'a pas été donné au public par 

 lui-même; il ne parut qu'après fa mort, &: fut im- 

 primé par M. de la Hire en 1693. 



M. Poignard , chanoine de Bruxelles , publia en 

 1703 un livre i'ur les quarrés magiques , qu'il appelle 

 Jublimes. Jufqu'ici on n'avoit conftrvfit les quarrés ma^ 



