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glques qiie pour des fuites de nombres naturels qui 

 remplilibient un quarré: mais à cela M. Poienard fait 

 deux additions importantes, i^. au lieu de'prendre 

 tous les nombres qui rempliffent un quarrî , par 

 exemple les trente-fix nombres confécuîifs qui rem- 

 pliroient toutes les cellules dun quarré naturel dont 

 le côté fercit 6 , il ne prend qu'autant de nombres 

 confécutifs qu'il y a d'unités dans le côté du quarrc , 

 c'eil-à-dire ici 6 nombres , & ces 6 nombres feuls il 

 les difpofe dans les 36 cellules, de manière qu'aucun 

 ne foit répété deux fois dans une même bande , foit 

 horifontale , foit verticale , foit diagonale. D'où il 

 fuit nécelTairement que toutes les bandes , priles en 

 quelque fens que ce loit , font toujours la même fom- 

 ■me. M. Poignard appelle cela pro^njjîoyi répétée. 2°. 

 Au lieu de ne prendre ces nombres que félon la fuite 

 des nombres naturels , c'eit-à-dire en progrelFion 

 arithmétique , il les prend aulïï & en progrefîion géo- 

 métrique & en progreiîion harmonique : mais avec 

 ces deux dernières progreifions il faut néceiTairement 

 que la magie foit dirrérente de ce qu'elle étoit dans 

 les quarrés remplis par des nombres en progreiîion 

 arithmétique ; elle conflit en ce que les produits de 

 toutes les bandes font égaux, & dans la progrefTion 

 harmonique , les nombres de toutes les bandes fui- 

 vent toujours cette progreifion. Ce livre de M. Poi- 

 gnard fait également des quarrés de ces trois progref- 

 lion^ répétées. 



Enfin M. de la Hire nous a donné dans les Mémoi- 

 res dic r académie 1705 fes recherches fur ce fujet. Il 

 confidere d'abord les quarrés impairs. Tous ceux qui 

 ont travaillé fur cette matière ont trouvé plus de dif- 

 ficuké dans la conllruftion des quarrés pairs ; & par 

 cette raifon M. de la Hire le garde pour les derniers. 

 Le plus de difficulté peut venir en partie de ce qu'on 

 prend les nombres en progreiTion arithmétique. Or 

 dans cette progreffion li le nombre des termes eil im- 

 pair , celui du milieu a certaines propriétés qui peu- 

 vent être commodes; par exemple, étant multiplié 

 par le nombre des termes de la progrelTion , le pro- 

 duit efl: égal à la fomme de tous les termes. 



M. de la Hire propofe une méthode générale pour 

 les quarrés impairs , & elle a quelque rapport avec 

 la théorie du mouvement compofé , fi utile & fi fé- 

 conde dans la Méchanique. Com.me cette théorie 

 conlifte à décompofer les mouvemens , & à les ré- 

 foudre en d'autres plus limples ; de même la méthode 

 de M. de la Hire confifte à réfoudre en deux quarrés 

 plus fimples &: primitifs le quarré qu'il veut con- 

 ftruire. Il faut avouer cependant qu'il n'étoit pas fi 

 aifé de découvrir ou d'imaginer ces deux quarrés pri- 

 mitifs dans le quané compofé ou parfait , qu'il î'eiî: 

 <l'a{5percevoir dans un mouvement oblique un mou- 

 vement parallèle, & un perpendiculaire. 



S'il faut, par exem^ple , remplir magiquement avec 

 les 49 premiers nombres de la progreffion naturelle 

 les 49 cellules d'un quarré qui a 7 de racine , M. de la 

 Hire prend d'un côté les 7 premiers nombres depuis 

 l'unité jufqu'à la racine 7, & de l'autre 7 & tous fes 

 multiples jufqu'à 49 exclufivement ; & comme il n'a 

 par-là que 6 nombres il y joint o ; ce qui fait cette 

 progreffion arithmétique de 7 termes , aui'îi-bien que 

 la première o, 7, 14, 21,28,35,41. 



Eniuite avec fa première progreffion répétée , il 

 remplit magiquement le quarré de 7 de racine. Poiu* 

 cela il écrit d'abord dans les 7 cellules de la première 

 bande horilontale les 7 nombres propofés, félon tel 

 .ordre que l'on veut ; car cela ell abfolument indiifé- 

 rent : & il efl: bon de remarquer ici que les 7 nom- 

 bres feuls peuvent être arrangés en 5040 manières 

 différentes dans une feule bande. L'arrangement qui 

 leur fera donné dans la première bande horifontale , 

 quel qu'il foit , eil: le fondement de celui qu'ils auront 

 dans tous les autres pour la fecoade bande horifon- 

 Toim XllI, 



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taie. îî faut mettre dans fa première cellule ou le troi- 

 fieme , ou le quatrième , ou le cinquième , ou le fi- 

 xieme , qui fuit le premier de la première bande hori- 

 fontale , & après cela écrire les lix autres de fuite. 

 Pour la troifieme bande horifontale , on obferve à 

 l'égard de la féconde le même ordre qu'on a obfervé 

 pour la féconde à l'égard de la première , &: toujours 

 ainfi jufqu'à la fin. Par exemple , fi on a rangé les 

 fept nombres dans la première bande horifontale fé- 

 lon l'ordre naturel i , 2, 3 , 4, 5 , 6 , 7 , on peut com- 

 mencer la féconde bande horifontale par 3 , ou par 

 4 , ou par 5 , ou par 6 ; mais fi on l'a commencé par 

 3 , la troifieme doit commencer par 5 , la quatrième 

 par 7 , la cinquiem.e par 2 , la fixicme par 4, la fep- 

 tieme par 6. 



I 



^ ! 3 



i4 





i 6 



7 





4l5 



6 



i-L 



i I 



2 



1. 



\6i7 





2 



L3_ 



4 



7 



iiU 



3 



4 



5 



6 



2 



3 i4 



5 



6 



7 



I 



4 



5I6| 



7_ 



I 



2 







7!i| 



2 



3 



Ti 





Le commencement des bandes qui faivent la pre->" 

 miere étant ainfi déteriuiné, nous avons déjà dit que 

 les autres nombres s'écrivoient tout de fuite dans 

 chaque bande allant de 5 à 6 à 7, & retournant à i , 

 2 , &c. jufqu à ce que chaque nombre du premier 

 rang fe trouve dans chaque rang au-defîbus , félon 

 l'ordre qui a été arbitrairement choiii pour la pre- 

 mière. 



Par ce moyen il efl: évident qti'aucun nombre ne 



fera répété deux fois dans une même bande quelle 

 qu'elle foit , & par conféquent les fept nombres i, 2, 

 3 5 4> 5 ? ^ î 7? étant toujours dans chaque bande , ils 

 ne pourront faire que la m.ême fomme. 



On voit dans l'exemple préfent que l'arrangement 

 des nombres dans la première bande ayant été choi- 

 fi à volonté, on a pu continuer les autres bandes de 

 quatre manières différentes ; & puifque la première 

 bande a pu avoir 5040 arrangemens dirFérens , il n'y 

 a pas moins que 20160 manières différentes dont le 

 quarré mjgiquc de fept nombres répétés puifl^e êtrei 

 conftruit. 



I 



î i 



13 4 



5 



11 



7_ 





I 



2 



3 



415 



\6 



7 



2 



3 



i4:5 



6 



7 



I 





7 



I 



2 



3!4 





6 



J_ 



± 



516 





I 







6 



7 



I 



2 1 3 



± 



5 



4 



5 



6i7 



I 



2 



3 





5 



6 



7 



TiT 



3 



4 



_L 



/■ 



D 





2 



j_ 



± 





_± 



J_ 



6 



7) I 





_3_ 



6 



T 





3_ 



_± 



5 







4 



1^ 



617 



I 1 



2 



7 



I 



2 1 3 



4 



5 



6 





2 



T. 



4 



S 6 



7I 



I 



L'ordre des nombres dans la première bande étant 

 déterminé ,fi l'on prenoit pour recommencer la fé- 

 conde, le fécond 2 ou le dernier 7, une des bandes dia- 

 gonales auroit toujours le même nombre répété, & 

 dans l'autre cas ce feroit l'autre diagonale ; par con- 

 féquent l'une ou l'autre diagonale feroit fauffe , à 

 moins que le nombre répété 7 fois ne fut 4 , car 4 fois 

 7 efl égal à la fomme de i , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , & en 

 général dans tout quarré conflruit d'un nombre de 

 termes impairs en progreffion arithmétique , une des 

 diagonales feroit faufïé par ces deux conflruûions , 

 à moins que le nombre toujours répété dans cette 

 diagonale ne fût le terme du milieu de la progreffion. 

 Il n'efi nullement nécefî'aire de prendre des termes 

 en progreffion arithmétique ; & on peut faire , fui- 

 vant la règle de M. de la Hire un quarré magique de 

 tels nombres qu'on voudra qui ne faivent aucune 

 progreffion. De plus , lors même qu'on les prenda:^ 



