^66 2 



€n progreffion arithmétique , il faudra excepter de la 

 itiéthode générale les d'eux conftruclions qui produi- 

 fent la répétition continuelle d'un même terme dans 

 l'une des deux diagonales , & marquer feulement le 

 cas ôii cette répétition n'empêcheroit pas k diago- 

 nale d'être juûe. 



Recommencer îa féconde bande par tout autre 

 ïiombre que le fécond ou te dernier de la première , 

 ce n'efl: pas une r^gle générale ; elle eft bonne pour 

 le quarré de 7 : mais s'il s'agilToit, par_ exemple , du 

 quarre de 9 ^ & qu'on prît pour le premier nombre de 

 îa féconde bande horifontale le quatrième de la pre- 

 mière; on verroit que ce même nombre commen- 

 ceroit auffi la cinquième & la huitième bande , & par 

 coniéquent feroit répété trois fois dans la première 

 bande verticale ; ce qui entraîneroit de femblables 

 répétitions dans? toutes les autres. Voici donc com- 

 ment doit être conçue la règle générale. Il faut que 

 le nombre que Ton choifit dans la première bande 

 pour recommencer la féconde , ait lin expofant de 

 fon quantième , tel que diminué d'une unité il ne 

 puilTe divifer la racine du qiuirré. Si , par exemple , 

 dans le quané de 7 on a pris pour recommencer la 

 féconde bande le troifieme nombre de la première , 

 cette conftruaion eft bonne, parce que Texpofant 

 du quandeme de ce nombre qui efl 3 — i , c'eft-à-dire 

 2, ne peut divifer 7 ; de même on peut prendre le 

 quatriem.e nombre de la première bande ,^parce que 

 4—1 ou 3 ne divilé point 7. C'eft la même raifon 

 pour le cinquième & fixieme nombre. Mais dans le 

 quarré de 9 , le quatrième nombre de la première 

 bande ne doit pas être pris , parce que 4—1 ou 3 

 diviie 9. La raifon de cette règle fera évidente , 

 pourvu que l'on obferve comment fe font ou ne fe 

 font point les retours des mêmes nombres , en les 

 prenant toujours d'une même manière dans une fuite 

 quelconque donnée. 



Il fuit de là que moins la racine du quarriç{iiQ l'on 

 conftruit a de divifeurs , plus il y a à cet égard de 

 manières différentes de le conftruire ; & que les nom- 

 bres premiers , c'eft-à-dire qui n'ont aucuns divifeurs 

 tels que 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , <^c. font ceux dont les quarrés 

 doivent recevoir le plus de variations à proportion 

 de leur grandeur. 



Les quarrés conftruits fuivant cette méthode ont 

 une propriété particulière , & que l'on n'avoit point 

 exigée dans ce problèmeXes nombres qui compofent 

 une bande quelconque parallèle à une des deux dia- 

 gonales , font rangés dans le même ordre que ceux 

 de la diagonale à laquelle cette bande efl parallèle ; 

 & comme une bande parallèle à une diagonale eft 

 nécelfairement plus courte qu'elle & a moms de cel- 

 lules, fi on lui joint la parallèle correfpondante qui 

 a le nombre de cellules qui lui manque pour en avoir 

 autant que la diagonale , on trouvera que les nombres 

 des deux parallèles mifes , pour ainfi dire , bout à 

 bout , garderont entre eux le même ordre que ceux 

 de la diagonale. A plus forte raifon ils feront la même 

 fomme ; ce qui fait que ces quarrés font encore magi- 

 ques en ce léns-là. 



I 



2 





4 



X 



|6 



7 



4 



_L 



6 



7 



I 



2 





6 



7 



I 



2 



3 



4 





I 



2 



3 



4 



_L 



6 



1 



3 



4 



5 



6 



7 



I 



4 





6 



7 



I 



2 



3 



i<5 



7 



I 



2 



3 



7 



L 



jo 7 



l 



2 1 



2 0 



\ ■ -. 





il— .-■11 



42 



0 



1 



i A 

 1 



842 0 



/ 



r_4 



2 ï 



28 





ï 421 



28 



3^ 



A 1 

 T" 



0 





3542 





7 



il 



1 r 





7^14 



21 



28 



3 5 



42 



0 



2835 



42 



,0 



7 



14 



11 



Au lieu que nous avons formé jufqu'ici Xt^quàrrii 

 par les bandes horifontales , on pourroit en former 

 par les verticales , & ce feroit la même chofe. 



Tout ceci ne regarde encore que le premier fw^rre 

 primitif, dont les nombres étoient dans l'exemple 

 propofé 1 , 2, 3,4, 5,6,7, refte le fécond primitif 

 dont les nombres font 0,7, 14, 21 , 28, 3 5 , 42. M. 

 de la Hire opère de la même façon fur ce fécond 

 quarré ; & il peUt être conftruit , félon fa méthode y 

 en 20160 iTianieres ditrérentes , auffi^bien que le pre- 

 mier, puifqu'il eft compofé du même nombre de ter- 

 mes. Sa conftruaion étant faite , & par conféquent 

 toutes fes bandes compofant la même fomme , il elî 

 évident qus fi l'on ajoute l'un à l'autre les nombres 

 des deux cellules correfpondantes dans les deux quar- 

 rés J c'eft-à-dire les deux nombres de la première 

 d'un chacun , les deux de la féconde, de la troilieme, 

 &c. & qu'on les difpofe dans les 49 cellules corref- 

 pondantes d'un troilieme quarré^ il fera encore ma- 

 gique , puifque fes bandes formées par l'addition de 

 fommes toujours égales à fommes égales feront né- 

 ceffairement égales entre elles. Il s'agit feulement de 

 favoir fi par l'addition des cellules correfpondantes 

 des deux premiers quarrés , toutes les cellules du troi- 

 fieme feront remplies de manière que chacune con- 

 tienne un des nombres de la progreffion depuis i juf- 

 qu'à 49 , & un nombre différent de celui de toutes 

 les autres ; ce qui eft la fin &: le deifein de toute l'o- 

 pération. 



Il faut remarquer que ft dans la conftruftion du 

 fécond quarré primitif, on a obfervé en recommen- 

 çant la féconde bande un ordre à la première diffé- 

 rent de celui qu'on avoit obfervé dans la conftruâioa 

 du premier quarré^ fi , par exemple , on a recommen- 

 cé la féconde bande du premier par le troifieme ter- 

 me , & que l'on recommence 

 la féconde bande du fécond 

 quarré ■ç'SLriQ quatrième, chaque 

 nombre du premier quarré fe 

 combinera une fols par l'addi- 

 tion &; une fois feulement aved 

 tous les nombres du fécond ; &r 

 comme les nombres du premier 

 font ici 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , & 

 ceux du fécond 0, 7, 14, 21 ^ 

 28 , 3 5 , 42 , on verra qu'en les combinant ainfi en 

 aura tous les nombres de la progreffion depuis i juA 

 qu'à 49 , fans qu'il y en ait aucun répété ; & c'eft-là- 

 le quarré parfait qu'il s'agifToit de conftniire. 



La fujétion de conftruire différemment les deux 

 quarrés prim.itifs , n'empêche nullement que chacune 

 des 20160 conftrudions de l'un ne puifTe être combi- 

 née avec toutes les 20160 conftruâions de l'autre, 

 & par conféquent 20160 multipHé par lui-même, 

 c'eft-à-dire 406425600 , eft le nombre de toutes les 

 conftruûions différentes que peut avoir le quarrfi 

 parfait , qui eft ici celui des 49 premiers nombres de 

 la progreffion naturelle. 



Quant aux quarrés pairs , M. de la Hire les conftruit 

 ainfi que les impairs par deux quarrés primitifs ; mais 

 la conftruftion des primitifs eft différente en général, 

 & peut l'être même en plufieurs manières ; & ces 

 différences générales reçoivent plufieurs variations 

 particulières, qui donnent autant de conftrudtions 

 dilférentes pour un même quarré pair. H paroît à peine 



î 





17 



2Ç 





li 



3- 



40 



48 





8|i6 



47 



6 



14 



15 



23131 39 



21 



22 



31 



38 



46)5 13 



37 



47 



4 



I 2 



20 



2829 



I i 



'1 



2713 ^ 



3? 



46 3 



34 



4^143 





10 



1826! 



I 



