kmû fi l'équation eft -f = , la racine de Vé^ 

 cjLiation eft la racine qiiarrée de a"+b\ainû \/{a'-\-h^'). 



C'eft une vérité reçue en Algèbre , qu'une équa- 

 tion a tovijours autant de racines qu'il y a d'unités 

 dans la plus haute dimenfion de l'inconnue ; par 

 exemple , une équation du deuxième degré a deux 

 racines, une du troilieme en a trois : ainfi l'équation 



= 4- , que nous venons de donner , a deux 



racines ou deux valeurs àex', favoir a: = + \/x- + b- , 



& :t: = — fl^ + Cette propriété générale des 

 équations peut fe démontrer de la manière fuivante. 



Soit x"^ -\- a x^'^^ -\-b x^~^ . . , . p = I, une 

 équation d'un degré quelconque ; & foit c une valeur 

 de l'inconnue x , telle que fubllituant c au lieu de x 

 dans l'équation , tous les termes fe détruifent par des 

 lignes contraires , je dis que x"^ a x"^ ~ ^ ■\- h at""^.... 

 4- />, fe divifera exaftement par x = c. Car foit Q le 

 quotient de cette divifton , le refte r , s'il y en a un , 

 ne contiendra point de x , puifque x ne paffe pas le 

 premier degré dans le divifeur , & on aura (x — c) 



X Q^-\- r égal & identique ^ x^ -^r a oc^~^ -\-bx"' ~ ^ .... 

 4- p. Donc fubftituant c pour x dans (x — c) x Q-{- r, 

 tous les termes doivent fe détruire , & le réfultat être 

 c=zo. Donc cette fubftitution donnera (c— c) x Q-}-r 

 = o & r = G. Donc la divifion fe fait fans relie. 

 On aura donc un quotient j;"~'-f--^x"~* 4-^ 



À:""^ 4- .... 4- P. Et s'il y a une petite quantité C 

 qui étant fubflituée par x dans ce quotient , faffe éva- 

 nouir tous les termes , on prouvera de même que ce 

 quotient peut fe divifer exadement par x—c.En con- 

 tinuant ainfiy-on trouvera que la quantité a?" <ï 



ar" ~ ' 4- ^ ~ ^ , &c. peut être regatdée comme le 

 produit' d'un nombre n d'équations fimples x — c, 

 X— C,x--D,x — E, &c. Donc puifque x^ a 

 x"'' 4- bx""^ . . . ,&c. = o,on aura^c — c X ^— C 

 X ^ — D XX — E , ôcc. = 0. Or ce produit fera = o 

 dans tous les cas fuivans : i^. x = c ; x^, x =z C ; 

 3°. xx=: D x — E, &c. Donc x a autant de va- 

 leurs qu'il y a de faûeurs linéaires a; — c x—C^ ôcc. 

 c'eft-à-dire autant qu'il y a d'unités dans n. 



Au refle , il ne faut pas croire que toutes ces va- 

 leurs foient ni toujours réelles , ni toujours pofitives. 

 On les difringue en vraies , fauffes , & imaginaires. 



Racine vraie. Si la valeur de x efl politive, c'eft-à- 

 dire fi X efl égale à une quantité pofitive ; par exem- 

 ple , fi AT =: la racine ell appellée racine vraie ou po- 

 jitive. Voyei PoSITlF. 



l Racine faujfe. Si la valeur de x eft négative , par 

 exemple ïix — ^ 5 , on dit que la racim eft faufle ou 

 négative. Voye^ NÉGATIF. Par exemple , l'équation 

 X X -\- 3^ — 10 — o,a deux racines ^ l'une vraie, 

 .l'autre faufte , favoir x=:2&a: = — 5. 



Racine imaginaire. Si la valeur de x eft la racine 

 .quarrée d'une quantité négative , par exemple , fi 

 ;f = y/ — 5 , on dit alors que la racine eft imaginaire. 



C'eft ce qui arrive dans l'équation 4- 5 = o , 

 qui a deux racines imaginaires xz=Z'\- \/ — ^ , & ;f = 

 — y/ — 5. Si on multiplioit l'équation x x -\- ^ = o 

 par l'équation a:a!:4-3^— io = o,on formeroit une 

 équation du quatrième degré , qui auroit deux racines 

 'imaginaires -i-v/— 5&~"V^ — 5? & deux racines 

 réelles, l'une vraie 4- 2., l'autre faulTe — 5. 



Dans une équation quelconque , les racines imagi- 

 naires , s'il y en a , font toujours en nombre pair. 

 Cette propofition aftez mal démontrée dans les livres 

 d'Algèbre, l'eft beaucoup plus exaftement dans une 

 KiiiTertation que j'ai imprimée au tome II. des Mém. 

 français de C académie de Berlin. Foye:(_ auffi ImAGI- 

 5NAIRE 6* Equation. Delà il s'enfuit que dans toute 

 équation d'un degré impair, il y a au-moins une racine 

 réelle. - 



L'Algèbre eft principalement d'ufage pour mettre 

 les problèmes en équations , & enfuite pour réduire 

 ces équations , ou les préfenter dans la forme la plus 

 fimple qu'elles puiflent avoir. Foye?^ RÉDUCTION- 



Quand l'équation eft réduite à la forme la plus fim- 

 ple , il ne refte plus , pour achever la folution du pro- 

 blème , que de chercher par les nombres ou par une 

 conftruftion géométrique, les racines de l'équation. 

 Foyei Equation & Construction. 



M. l'abbé de Gua , dans les mémoires de l'académie 

 royale des fciences deParis ^ année /74/ , nous a donné 

 deux excellentes dilTertations fur les racines des équa- 

 tions. Le premier de ces mémoires a pour titre : 

 Démonjîration de la règle de Defcanes pour connoitrc l& 

 nombre des racines pojitives & négatives dans les équa^ 

 dons qui ri ont point de racines imaginaires ; nous al- 

 lons rapporter en entier l'efpece de préface que M. 

 l'abbé de Gua a mife à la tête de cet ouvrage : elle 

 contient une difcuffion hiftorique très-intérefiante. 



« Defcartes , dit M. l'abbé de Gua , a donné fansi 

 » dém.onft ration , à la pag. to8. de fa géométrie^ édit. 

 » de Paris , année lyoS ^{3. fameufe règle que j'entre- 

 » prens de démontrer. On connoît de ceci , dit cet 

 » auteur , combien il peut y avoir de racines vraies & 

 » combien de fauffes en chaque équation ; à favoir , 

 >> il y en peut avoir autant de vraies que les fignes 4- 

 » & — s'y trouvent de fois être changés , & autant de 

 » faufîes qu'il s'y trouve de fois deux fignes 4- 5 o\\ 

 » deux fignes — qui s'entrefuivent, &c. 



» Ces mots i//7e/^^y^2voir,que Defcartes répète deux 

 » fois dans cette propofition,évitantau contraire con- 

 » ftamment l'expreffion ily a, marquent affez qu'il n'a 

 » pas regardé la règle qu'il avoit découverte, comme 

 » abfolument générale,& qu'il a vu au contraire qu'- 

 » elle devroit feulement avoir lieu , lorfque les raci- 

 » /zÊ5que les équations peuvent avoir feroient toutes 

 » réelles », M. l'abbé de Gua prouve cette vérité par 

 d'autres endroits du même ouvrage , & il ajoute : 

 « cet auteur s'eft expliqué lui-même dans la fiiite de 

 » ce point, d'une manière précife. Il trouve cette ex- 

 » plication danslalxvij. lettre du troifieme tome. Sa 

 » féconde objection , dit Defcartes dans cette lettre, 

 » en parlant de Fermât , eft une faulTeté manifefte ; 

 » ear je n'ai pas dit dans l'article 8. du troifieme livre 

 » ce qu'il veut que j'aie dit , à favoir qu'il y a autant 

 » de vraies racines que les fignes 4- & — fe trouvent 

 » de fois changés , ni n'ai eu aucune intention de le 

 » dire : j'ai dit feulement qu'il y en peut autant avoir^ 

 n & j'ai montré expreffément , art. ij. du 111. liv. 

 » quand c'eft qu'il n'y en a pas tant, à favoir, quand 

 » quelques-unes de ces vraies racines font imagi- 

 » naires ». 



Quelque nombre de difciples & de commentateurs, 

 qu'ait eu ce grand géomètre dans l'efpace de près d'unt 

 fiecle , il paroît néanmoins que perfonne , avant Mi 

 l'abbé de Gua , n'étoit encore parvenu à démontrer 

 la règle dont nous parlons. • 



C'eft fans doute le xlj. chapitre du traité d'Algehrs 

 de \Vallis , qui a été l'occafion de l'erreur de M. Wolt 

 &c de M. Saunderfon , qui attribuent l'un & Fau- 

 tre l'invention de cette règle à Harriot, algébrifte an- 

 glois. On n'ignore pas que'Wallis n'a rien oublié dans 

 cet ouvrage pour arracher en quelque façon à Viete 

 & à Defcartes leurs découvertes algébriques , dont 

 il fe plait au contraire à revêtir Harriot fon compa- 

 triote. 



« Pour réfiiter "Wallis, fur l'article dont il eft prin- 

 » cipalement queftion , nous ne nous fervirons , 

 » continue M. l'abbé de Gua, que du témoignage de 

 » "Wallis lui-même, & de "Walfis parlant dans le mê- 

 » me ouvrage. Il contefte , dans l'endroit que nous 

 » venons de citer , que la règle pour le difcernement 

 » des racines , appartient à Defcartes ; plus bas , 

 » au chap. IxHj. pagy xiâ, il continue à la vérité de 



