pfîus petit, comme le tout à fa partie. La ralfon déter- 

 mine donc combien de fois le plus petit eft contenu 

 dans le plus grand , ou combien celui-ci contient le 

 plus petit , c'eft-à-dire à quelle partie du grand le pe- 

 .tit eft égal. 



La raifon que le plus grand terme a au plus petit, 

 par exemple , 6 à 3 , eft appellée raifon de plus gran- 

 de inégalité; & celle que le plus petit terme a au plus 

 grand , par exemple ,3 à 6 , eft appellée raifon de 

 anoindre inégalité. 



Cette raifon correfpond à toutes fortes de quanti- 

 tés en général , foit difcretes ou continues , com- 

 Snenfurables ou incommenflirabîes ; mais la quantité 

 difcrete ou continue admet une autre efpece de 

 raifon. 



Lorfque le moindre terme d'une raifon eft une par- 

 tie aliquote du plus grand , ia raifon de plus grande 

 inégalité s'appelle multiple , multiplex , & ia raifon 

 de moindre inégalité , fous-muldpk. Voye^^ Multi- 

 ple. 



Dans le premier cas particulièrement , ft l'expo- 

 îant eft 1 , la raifon s'appelie double ; triple , fi c'eft 

 3 , &c. Dans le fécond cas, ft l'expofant eft y, la rai- 

 Jon eft appellée fous-double ; ft c'eft Jbus-tnpU , &c. 

 Par exemple , la raifon de 6 à 2 eft triple , à caufe 

 qu'elle contient 2 trois fois : celle au contraire de 2 à 

 6 eft fous-triple , à caufe que 2 eft le tiers de 6. 



Si le plus grand terme contient le plus petit une 

 ou plufieurs fois , plus une ou plufieurs parties , la 

 raifon de plus grande ou de moindre inégalité reçoit 

 encore différens noms. Nous allons les donner ici , 

 quoique la plupart foient aujourd'hui peu en ufage , 

 mais ces noms pourront être utiles à ceux qui lifent 

 les anciens auteurs. 



Dans le premier cas , fi l'expofant eft i ^ , la rai- 

 fon eft fefqiùalure ; fi 3 , ^fcfquitierce. Dans Fautre, fi 

 l'expofant eft | , la ra fon eft appellée fous-fefquialc^re; 

 û. I ^fous-fefquitiercc. 



Par exemple , 3 eft à 2 en raifon fefquialtere , & 2 

 à 3 en raifon fous-fefquiaitere. 



Lorfque le plus grand terme contient le plus petit 

 une fois , & outre cela plus d'une de fes parties , la 

 raifon de plus grande inégalité s'appelle firparti&ntc , 

 &L celle de momdre inégalité fousfur par tient e. 



Si l'expofant eft i y , la raifon s'appelle furbipar- 

 tien te tierce ; fi i y furtripanitnte quarte { 4 ^ furqua- 

 dripartiente feptieme^ &c. Dans le dernier cas , fi Tex- 

 pofant eft j , la raifon s'appelle fous-furbipartiente tïer- 

 ■£e ;{i j , fous-furbipartiente quarte ; fi, &c, Voye^ Eu- 

 CLIDE. 



Par exemple , la raifon de 5 à 3 eft furbipartiente 

 tierce ; celle de 3 à 5 Ibus-furbipartiente tierce. 



Lorfque le plus grand terme contient le plus petit 

 plufieurs fois , & plus d'une de fes parties , la raifon 

 déplus grande inégalité s'appelle multiple fur particu- 

 lière ; & celle de moindre inégalité , fous-multiple , 

 fous- furpanicidicre. 



Particulièrement dans le premier cas , fi l'expofant 

 «ft 2 I , la raifon eft appellée double fefquialtere y fi 3 

 triple fefquiquartc , &c. Dans le dernier , la raifon eft 

 3.ppe\léQ f>us-double , fous fefquialtere , fi l'expofant 

 eft J , &L fous-triple fous-fcfquiquarte , s'il eft — , &c. 



Par exemple , la raifon de 1 6 à 5 eft triple ffqui- 

 ([uinte ; celle de 4 à C) ^ fous-double fous-fefquiquarte. 



Enfin , lorfque le plus grand terme contient le plus 

 petit plufieurs fois , & de plus , plufieurs de fes par- 

 ties aliquotes , la raifon de plus grande inégalité eft 

 appellée multiple fur paniente ; celle de moindre iné- 

 galité ^fous-multiple fous-fur paniente. 



Dans le premier cas , par exemple , fi l'expofant 

 eft 2 y , la raifon eft appellée double furbipartiente tierce^ 

 il 3 ^ , triple furbiquadripaniente feptieme^ &CC. Dans le 

 dernier cas , fi l'expofant eft |, on l'appelle fous dou- 

 ble fous furquadripartiente tierce ; fi ^ ,fous triple fous- 

 fur quudriparùmtc feptieme^ 



Par exemple , îa raijon de 25 à 7 eft triple furqua-> 

 dripartiente feptieme ; celle de 3 à 8 , fous-doubie 

 fous-furbipartiente tierce. 



Telles font les diverfes efpeces de ralfons ration-^ 

 uelles , dont le nom eft abfolument néceftaire à ceux 

 qui lifent les anciens auteurs , quoiqu'elles fe rencon- 

 trent rarement dans les auteurs modernes , qui les ex- 

 priment par les expofans de la raifon , par exemple , 

 par 2 : ï : fi la raifon eft double ; par 3 ; 2' fi elle eft' 

 fefqinaitere. 



Les raiforts égales ou identiques font celles dont 

 les antécédens ont un rapport égal avec leurs confé- 

 quens, c'eft- à-dire dont les antécédens divifés parles 

 eonféquens, donnent des expofans égaux. On peut 

 concevoir par-là l'identité des raifons irrationnelles. 



D'où il fuit, j''. que deux raifons étant égales, 

 l'antécédent de l'une doit contenir autant de fois fon 

 conféquent que l'antécédent de l'autre contient le 

 fien. Secondement , fi ^ eft à ^ comme C eft à D , 

 cela s'exprime ainfi : A : B : \ C: D ^ o\i J : 3 =z C: D. 

 La première exprefiion eft celle dont on fe fert pour 

 l'ordinaire pour ex'primer l'identité des raifons; f au- 

 tre eft celle de \Volf , qui a cet avantage fur la pre- 

 mière , que le caractère- du milieu = exprime l'égalité 

 des raifons. 



Nous avons déjà obfervé que deux raifons égales , 

 par exemple B:C=zD : E , forment une proportion. ; 

 fi l'on a deux raifons inégales , par exemple J : B &c 

 C : D, nous appellerons J:Bh plus grande , & nous 

 écrirons J : B > C : D ; au contraire nous appelle- 

 rons C: D h. moindre , & nous écrirons C: /> < 

 A:B. . 



Les raifons compofées font celles qui font faites 

 par la multiplication de deux ou pluiieurs raifons mul- 

 tipliées les imes par les autres, c'eft-à-dire par le pro- 

 duit des antécédens & des eonféquens. Par exemple, 

 la raifon de 6 à 72 eft une raifon compofée de 2 à 6 , 

 & de 3 à 1 2 , c'eft-à-dire formée du produit des an- 

 técédens 2 & 3 , & des eonféquens 6 & 12. 



Une raifon compofée de deux raifons égales , s'ap- 

 pelle doublée ; triplée , quand elle eft compofée de 

 trois ; qiuidrupUe , quand elle l'eft de quatre ; & en 

 général miutipUêe , quand elle eft compofée de plu- 

 fieurs raifons femblables : par exemple ,48:3 eft une 

 raifon doublée de 4 : i & 12 : 3. Foye^ Doublée , 

 &c. 



Propriétés des raifons. i*^. Les raifons égales à une 

 troifieme , font égales entr'elles. 



i°.Sï/l:B — C:D^ alors en raifon inverfe B : A 

 = D : C. 



3°. Les parties femblables P &cp ont même raifon 

 aux touts T & r ; & fi les touts ont la même raifon 

 que leurs parties , les parties font femblables. 



j^^.SïJ : B=:C: D ^ pour lors en raifon alterne 

 J : C=:B:D. D'où il fuit que B - D :A = C7, 

 &cA:B=zC:D,6cA:F=:zC: Gênons aurons 

 B: F— D : G. Donc encore û A : B = C : D ; 6c 

 F: A =2 G : C, nous aurons F: B= G : D. 



5 ^. Les choies qui ont même raifon à une troifieme, 

 font égales entr'elles , & vice verfâ, 



6°. Si l'on multiplie des quantités égales A 8c B 

 par les mêmes quantités , ou par des quantités égales, 

 les produits D &c E ieront l'un à l'autre comme 

 AScB. 



y. Si l'on divlfe telle quantité que l'on voudra , 

 comme A &c B par les mêmes quantités , ou par des 

 quantités égales , les quotiens feront l'un à l'autre 

 com.me A 6c B. 



8^. Si l'on divife les antécédens ou les eonféquens 

 des rations égales A : B 6c C : D par la même quan- 

 tité E ; dans le premier cas les quotiens F Se G au- 

 ront même raifon aux eonféquens B 6c D ; dans le 

 fécond les antécédens A 6c B auront même raifon- 

 aux quotiens II6c K, 



