Dans le Mémoire Sur l'intégration des différentielles irrationnelles, publié, en 1853, dans 

 le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, nous avons donné une mé- 

 thode pour trouver la partie algébrique dans l'expression de l'intégrale^^ , en tant qu'elle 



est possible sous forme finie, et déterminer séparément tous les termes logarithmiques à l'aide 

 de certaines conditions qu'ils doivent vérifier, A présent, nous allons montrer comment on peut 

 trouver, d'après ces conditions, les termes logarithmiques, dans le cas le plus simple et le plus 

 intéressant, savoir: celui où la différentielle contient une racine carrée d'un polynôme du 

 troisième ou du quatrième degré. Faute de méthode générale, on ne connaît que des cas très 

 particuliers, où une pareille différentielle s'intègre sous forme finie; dans plusieurs autres cas, 

 pour lesquels cette intégration a aussi lieu, on n'y parvient qu'en essayant différentes trans- 

 formations, et, le plus souvent, on renonce à l'idée de chercher l'intégrale après avoir fait beau- 

 coup de tentatives sans succès. Or, d'après nos recherches, citées plus haut, les méthodes parti- 

 culières et les essais de différentes transformations qu'on emploie dans cette intégration, seront 

 remplacés par une méthode générale et directe dès qu'on sera parvenu à définir les termes 



, ' , d'après les conditions que 



Fq-^ Vax* -H pa;3 -t- -H H- X ^ ^ 



nous avons trouvées pour leur détermination. C'est ce que nous allons faire ici, en don- 

 nant la méthode, d'après laquelle la recherche de ces termes se réduit toujours à cette question 

 résolue par Abel: 



«Trouver toutes les différentielles de la forme ^ , où p et 7î sont des fonctions entières 

 «de œ, dont les intégrales puissent s'exprimer par une formule de la forme log ^^^^^ . [Oeuvres 

 compl. T. /, pag. 33.) 



Cette intégration sera donc due à Abel et par le principe fondamental, d'où nous sommes 

 partis dans nos recherches sur l'intégration des différentielles irrationnelles, et par la méthode 

 de résoudre la question citée, à laquelle se réduit finalement la détermination des termes logarith- 

 miques dans la valeur de f ^ —. — '^'^ Ainsi, nos recherches, comme nous 



J ^qX Yixx* -+- px'"* -+- yx- -H dx -H X 



nous plaisons à le croire, rempliront, sous un certain rapport, une lacune qui restait entre les 



