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P. TCHÉBYCHEV. 



Mémoires de ce grand Géomètre, où il donne la forme générale des intégrales des différentielles 

 algébriques, en tant qu'elles sont possibles sous forme finie, et ceux où il cherche leur valeur, 

 en faisant une hypothèse particulière. 



La réduction de nos équations, dont nous venons de parler, est indispensable aussi pour 

 simplifier l'intégration des différentielles plus compliquées. Quant aux différentielles qui ne 

 contiennent sous le signe du radical carré qu'une fonction du premier ou du second degré, cette 

 réduction conduit immédiatement à trouver la partie logarithmique de leurs intégrales. Outre 

 cela , cette réduction est remarquable par différents résultats relatifs à la nature des intégrales 

 qu'on peut en tirer, et cela nous fournit un rapprochement très intéressant de la construction 

 des valeurs irrationnelles avec la règle et le compas, et l'intégration des différentielles sous 

 forme finie. Ainsi on verra que, la somme des nombres n°, n, n", .... étant impaire, 

 l'intégrale 



/ n n'A(a') n"A{a'') y^^ dx 



(n^X-i —f-l r -4- ... H- C TT-r , 



x—a'x—a ' A (x) ' 



où nous avons fait pour abréger A (^) = Va;'' -+- ^a;^ h- yx^ Sx X , ne peut être exprimée 

 sous forme finie, si, d'après les quantités 



a\ a", ^, 7, 3, X, 



et à l'aide de la règle et du compas, on ne peut construire aucune des racines de l'équation 



x'' -f- ^x^ -H^a^ -+-8x-t-l = 0. 



Par exemple, on reconnaît que les intégrales 



3(2n' — nO— 1) „ „ 2n' 3(2n"— w»— n'— 1) 



f x-i-c j r ^ j f X — 1 X j 

 / , - dx^ / — — ax , / , axt 



J -|/^4 _H 2x2 — 8x -I- 9 ô yx4-+-2x2 — 8X-+-9 ^ Vx* 2x2 — 8x -+- 9 



etc. , etc. , etc 



sont impossibles sous forme finie, parce que , à l'aide de la règle et du compas , on ne peut pas 

 inscrire dans le cercle un polygone régulier de 7 côtés, ce qui est nécessaire pour la con- 

 struction des racines de l'équation a;* -i- 2a7^ — 8a; -i- 9 = 0. 



Il y a d'autres questions de l'Analyse transcendante, où la même méthode de réduction 

 peut être avantageusement employée, savoir, quand on cherche à exprimer la somme des intégrales 



f'_M__ . f " fo^ dx 



J a.,x-t-^jVex J a.jX-i-^^VOx 



par une somme d'un nombre déterminé d'intégrales semblables, en y ajoutant une certaine 

 onction algébrique et logarithmique. 



Enfin, cette même méthode, appliquée aux nombres, nous donne un procédé à l'aide du- 

 quel on trouvera la représentation d'un nombre donné par la forme x'^ — ny^, toutes les fois 



que ce nombre peut être mis sous cette forme et qu'on connaît la valeur de x, pour laquelle la 



