Intégration des différentielles. (3) 207 



forme x'^ — n est divisible par ce nombre. Dans le cas de n = — 1 , cela se réduit à la mé- 

 thode ingénieuse que M. H ermite a employée pour démontrer que tous les nombres premiers 

 de la forme 4fc-i- 1 sont toujours décomposables en une somme de deux carrés, et pour effectuer 

 en même temps cette décomposition. 



Si dans les formules de notre Mémoire, cité plus haut, on fait 



m 



m = 2 , A = VOx =z -Vâx, 



on trouve que l'équation 



a;m _ 1 _ 0 , 



dont l'une des racines primitives nous a servi pour composer des nombres complexes, se 

 réduit à x^ — 1=0, et comme la racine primitive de cette équation est égale à — 1 , les 

 nombres complexes que nous avons désignés par 



O / " 



Mi, Mi, Mi, 



deviennent réels et rationnels. De plus, la forme générale des termes logarithmiques 



A log [9 (A) . <p« (aA) . <p«' (a^ A) . . . . cp»""" * (a"»- ^ A)] , 

 à cause de m = 2 , A = Vôx, devient 



A log [9 [VOx) .<^-^[-ydx)] = A log , 

 et comme cp est une fonction entière, on aura , 



<^{yox) = Xç,-^-xvox, (^{—yâx) = Xo—xVâx, 



où Xq, X sont des fonctions entières. 



Donc, les termes logarithmiques, dans la valeur de l'intégrale f^^^ , s'écriront ainsi: 



En cherchant à déterminer ces termes, nous avons trouvé que le coefficient A sera égal 

 à une valeur connue, divisée par un nombre entier inconnu, et si l'on désigne ce nombre par 



n„ le degré de la fonction ^y^^ sera exprimé par le produit ni.M° , où M? est une valeur 



connue. De plus, cette fonction, pour toutes les valeurs finies de x, sera en rapport fini avec 

 la puissance n,""* de la fonction 



/ tt ni Jni 



{x — x)^i.[x — x)Mi . [x — X )Mi ....{x — x')^-'^)) [x — D) ; 



où Mi, Mi, Mi, J/i^-i), 



