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dans le cas que nous examinons, sont réels et rationnels. En passant à la détermination des 

 inconnus n^ , Xq, X, nous remarquons que n, doit être susceptible de réduire les produits 



O / Il III 



à des nombres entiers : car le produit n^J/" désigne le degré de ^^^^ » qui ne peut être 



fractionnaire , Xq , X étant des fonctions entières ; la même chose a lieu relativement aux produits 



( // III 



qui sont égaux aux exposants de x — x, x — x", x — x", .... x — — i) dans les premiers termes 

 du développement de j _j^yg^ suivant les puissances croissantes de OC oc y OC ^ ^ oc ' oc • • • 

 . . .X — — 1). Donc, % doit être divisible par le plus petit dénominateur, auquel les quantités 



peuvent être réduites, et par conséquent, si l'on désigne ce dénominateur par a, et le quotient 

 a par -t- p ou — p, on aura 



n. = ±; pa , 



où nous prendrons celui des deux signes qui appartient à la valeur de M°. D'après cela, 

 n,i)/° , le degré de , sera exprimé par ± (tM°ç , où ± aM° se réduira à un nombre 



entier et positif. En dénotant ce nombre par tc, et désignant d'après la notation d'Abel, le 



X -^-XV6x X ~t-XVdx 



degré de YZTxVèx P*'" ^ x — xv ' ex ' ^^^^ aurons , relativement à p , cette équation 



^x,-^xYex = ''^- 



Quant à la fonction qui, pour toutes les valeurs finies de x, reste dans un rapport fini avec 

 la fonction Y^TxVdx ' vertu de n = zt pa, elle se réduit à 



\_{x — xYi . [X — X'y". {x — x'Y'i. . . . {X — Xi^-'^)) * . {x — x(^-^i))] 

 I II 



et comme les produits aif,, uMi, ailf,(^ — i), d'après la propriété du nombre a, se 



réduisent à des nombres entiers, la fonction 



\jx—x)^i . [x — xYi.[x—x"Yi. . . . (a; — ' . (a; — 



ne peut être que rationnelle. Donc, si nous faisons, pour abréger, 



-+-0 



{{x—x')^i . [x — x'Yi. {x^x'Yi'. .... {x — xO^-'^)) \ [x—x{'^-*^))\=^; 



o\xu, V sont des fonctions entières, et que nous convenions de désigner par la lettre J toutes les 



