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et si les fonctions p et q sont choisies de manière à ce qu'elles vérifient les équations 

 les équations qui déterminent les nouvelles inconnues Pq ^t Qq deviennent 



Ces équations seront plus ou moins simples selon les valeurs dcp et q, qu'on emploiera 

 dans la réduction dont nous venons de parler. Or, nous allons montrer que, dans les équations 

 réduites (2), la somme du degré de u'v et de la valeur numérique de tc — ti, sera au-dessous 

 du degré de VOx, si l'on prend pour p et q des fonctions qu'on trouve de la manière suivante: 



1) On cherche une fonction entière S, pour laquelle les fractions ^Z^^^iiLZ^, sVdi—Vdz 

 ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini. 



'-VF 



2) Ou développe — en fraction continue, et parmi les fractions réduites on trouve 

 une fracfion dont le dénominateur est d'un degré moins élevé que '^—y^ '■> mais qui est 

 suivie d'une fraction dont le dénominateur est d'un degré plus élevé que 



3) En dénotant cette fraction par— > on prend 



q = N, p = SN—Muv (3) 



En effet, d'après les équations (3) et la propriété de la fonction S, on voit que les ex- 

 pressions 



pVe^-\-qVd2 pVh—i^h 



U ' V 



restent finies pour toutes les valeurs finies de x. Donc , si l'on dénote par 



a , oo^ , , , ^ , ^1 , ^2 ' » 



les valeurs de x qui rendent ces expressions égales à zéro, et par 



f ) /i » ^2 » ' 9 f ffi ' 92 y » 



les exposants de 



a;— a;— a; — ^2» 



dans leur développement suivant les puissances croissantes de ces différences, on aura 



