Intégration des différentielles. (7) 211 



?A^2 _ {^x-ct)f[x - aO^i [x - a,)^ ; 



où , T2 désignent des fonctions qui restent finies pour toutes les valeurs finies de œ. 



Mais, comme les exposants de x — a, x — a,, x — «2, .... x — x — ^1, x — ^3» • • • • 

 dans le développement de ^^^l'^'^^^g , p^^j- ~ ^^^2 ne peuvent contenir d'autres fractions que-|> 

 ces équations se réduiront à cette forme 



pVe,^^, _ y, ^y^ pVe,-qV6, _ y y^. 



où u\ v', w, w', sont des fonctions entières, dont les deux dernières ne contiennent que des 

 facteurs simples. Par la multiplication de ces équations nous trouvons 



^—^ — ^—^ = T. ToU V Vww , 



uv ' ^ 



et par conséquent, 



p'^di — q'^Oi Y Y 

 uvu'v'Vww' ^ ^' 



Cette équation prouve, évidemment, que Ta est une constante; car, d'après la propriété 

 des fonctions , T.^, leur produit ne devient ni zéro ni infini pour x fini, tandis que cette 



équation montre que le carré de J", est une fraction rationnelle |~~7^7^~;^ qui ne peut rester 



finie pour toutes les valeurs finies de x, à moins qu'elle ne se réduise à une constante. Donc 



7*1 Ti = C , 



et par conséquent, l'équation précédente devient 



uv w v'Vw w 



(5) 



Or cette égalité suppose que ww' est un carré parfait, et comme les fonctions w, w n'ont 

 que des facteurs simples, cela ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait 



w = w' (6) 



D'après cela, en divisant les équations (4) l'une par l'autre, on trouve 



pVdi — qVdz Vî?' 



T 



en mettant, pour abréger, T à la place de ^« 



Il nous reste maintenant à prouver que si l'on fait 



_ ^ pyoï-t-qye^ 



^^ — ^pVd,-qVd^* 



