Intégration des différentielles. (9) 213 



quantités sont au-dessous de hVâœ. Ainsi l'on parvient à s'assurer que les valeurs de p et q, 

 déterminées d'après la méthode énoncée, sont effectivement susceptibles par la substitution 



de réduire les équations 



Xa-^XVôx rr,/ n\9 ^ X„-t-XVdx 



à ces autres 



où la somme du degré de u'v , plus la valeur numérique de 71: — 71:, , est au-dessous du degré 

 de yOx. 



Nous montrerons maintenant, que cette réduction sera toujours possible, tant que les 

 équations primitives elles mêmes ne remplissent pas la condition 



Il est facile de remarquer que la détermination de et g, dont nous venons de parler, ne sup- 



pose que l'existence de deux fractions réduites de — — — î telles que l'une ait pour dénomina- 

 teur une fonction d'un degré moins élevé que y ' ■ ? tandis que la suivante a le dénomina- 

 teur d'un degré plus élevé que 



Or nous verrons, que cela aura toujours lieu, tant que la condition h[m)-^-TZ ■< hVOx 

 n'est pas remplie, et que l'on décompose convenablement la fonction Ox en deux facteurs ô^.d^; 



savoir: de manière que 'y^—y^~- soit d'un degré fractionnaire. En effet, dans ces suppositions, 

 le degré de |/~~^^~- ^st au-dessus de zéro, et par conséquent, si l'on commence la série des 



fractions réduites de — — — ^ par y , où le dénominateur est du degré zéro , on est sûr de trou- 

 ver parmi elles au moins une fraction dont le dénominateur soit d'un degré moins élevé que 



s- 



Mais alors , dans la série infinie des fractions réduites de y^J^ 1 on trouvera nécessaire- 

 ment deux fractions consécutives telles que l'une a pour dénominateur une fonction d'un degré 

 moins élevé que tandis que le dénominateur de l'autre est d'un degré plus élevé 



5_-|/?2 



-i/m^^^^ si toutefois aucune des fractions réduites de — n'a son dénominateur du 



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