Intégration des différentielles. (17) 221 



§5. 



D'après ce que nous veoons de donner sur la solution des équations 



Xq — XYOx \ / ^0 



on peut prouver qu'elles sont impossibles, si, Ox étant du qualième degré et de degré 



impair, l'équation Ox=0 n'est pas vérifiée, en prenant pour x une valeur composée des racines de 

 l'équation uv = ^ et des coefficients de Ox, à l'aide des seuls radicaux carrés, et que, par 

 conséquent, on ne peut pas exprimer en termes finis toutes les intégrales, dont la détermination 

 se réduit aux équations (10) de cette catégorie. 



Pour le démontrer, nous remarquerons d'abord que, dans le cas où '^^^ est de degré 

 impair, on peut exécuter la réduction des équations (10), d'après le § 3, en prenant cette 

 décomposition de Ox en deux facteurs 6*, , 6*2 • 



0^ = i , 0., = ûx, 



et si, avec ces valeurs de 6',, û^, et en supposant connues les racines de l'équation uv — 0, 

 on fait la réduction des équations (10), et qu'on cherche leur solution, on ne rencontre que 

 l'extraction des racines carrées et les différentes opérations rationnelles. Donc, dans toute cette 

 analyse, on n'aura que des quantités qui ne peuvent vérifier l'équation ûx = 0 dans le cas 

 que nous examinons. Or nous allons prouver que tant que cela a lieu, on ne peut donner une 

 solution des équations (10). 



D'après le § précédent, dans la solution des équations (10) on ne peut se passer du déve- 

 loppement de 0 ou VOx en fraction continue, que dans le cas, où l'on a e = 0, 



ou TU — 7i:i=:0, a = 0. 



Mais nous savons (voyez § 4) que la quantité e ne se réduit à zéro, que dans le cas, où 



la valeur x= — vérifie ces deux équations 



et, comme le produit ^^^^^^^^^ • ^^^^ est égal à ^ ^' = ax-\-h , cela suppose que 

 le développement de 



pVe^-i-qVd^ pVdy — qVeo 



n r , 



suivant les puissances de x~\ — , contient des exposants fractionnaires, ce qui ne peut avoir 



