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P. TCHÉBYCHEV. 



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En terminant notre Mémoire, nous allons faire le résumé des procédés qui, d'après ce que 

 nous venons d'exposer, constituent, avec nos recherches, citées plus haut, une méthode géné- 

 rale d'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du 3™® 

 ou du 4'"'^ degré, en tant que cette intégration est possihle sous forme finie. 



Nous supposons que préalahlement la partie rationnelle de ces différentielles a été sépa- 

 rée, et que le reste a été mis sous la forme y^^^ » où f^x, F^x n'ont point de commun divi- 

 seur; nous supposons aussi que Ox, qui n'est que du S™** ou du 4™*^ degré, n'a pas de facteurs 

 multiples; car, autrement, l'intégration de y-^^^^ deviendrait très simple. 



jFxVdx ^^^^ forme finie, en tant que cela est possihle, on pro- 

 cédera de la manière suivante: 



1) On cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions ¥x6x et ^• 

 Nous dénoterons ce diviseur par Q. 



0 f X 0 



2) On déterminera les degrés des fonctions - y , , —r^- Si ces fonctions sont de 

 degrés inférieurs à — 1 , le terme algéhrique dans l'expression de l'intégrale cherchée est zéro. 

 Dans le cas contraire, on prendra n égal au plus petit nomhre entier supérieur aux degrés de 

 ces fonctions, et on cherchera les coefficients du polynôme 



P = BnX^ -+- Bn-\.x'^- 1 -h-Bx'^Hr-Bx-i-B^ 



d'après cette condition: 



«la fonction f^ic — — — ' — Q- ^ ^ ' élml divisée par Q, donne zéro pour 



«reste et pour quotient une fonction d'un degré qui n'est pas plus élevé que celui de 



Si cette condition ne peut être rempHe, on conclura, tout de suite, que l'intégrale cherchée 

 est impossihle sous forme finie. Dans le cas contraire, on trouvera les coefficients du polynôme P, 



et l'on conclura que la partie algéhrique dans l'intégrale cherchée a pour valeur ^VOx. 



d ^Vdx 



f X / 0 1 fx 



3) On mettra la fonction — — dx — ^^"^ forme ^5 où fx, Fx sont des 

 fonctions entières qui n'ont point de commun diviseur; on cherchera les racines de l'équatien 

 Fx=0, et l'on calculera des quantités K°, K\ K', A"", /t(^) d'après les équations 



f{x') j^n_ f[x") f(x^) , 



,^ ddx ^ „ dQ 



Fr.X Fr.X.eX.~ 



FaXdxdP ° dx ° dx 



„_r xfx_-^ j.f f[x'] j.f, f{x ) 



' F'{xl]Vdixl)' 



où X, x", ir(') désignent les racines de l'équation Fx = 0 et F'x — 



dx 



