274 (6) 



M. OSTROGR AD SKY. 



latives au point m, deviendra Q-i-àQ à l'extrémité de Ae ou au point jji., A() représente une va- 

 riation où l'on doit faire varier, non seulement la manière dont Q dépend du temps, mais aussi 

 le temps lui même. 11 convient d'introduire au lieu de Ae la distance entre les positions des 

 points m et [x considérés tous les deux à la ûn du temps t, distance que nous désignerons par 

 êe. L'origine de cette ligne inGniment petite est censée le point m, comme celle de Ae. Une 

 quantité quelconque, désignée tout-à-l'heure par Q, deviendra à l'extrémité de 8e, hQ 



désignant une variation, où l'on ne fera changer que la dépendance entre Q et t, sans faire 

 varier t le moins du monde. 



Il est clair que Se-i-dSe est la distance qui sépare les points m et [j. à la fin du temps 

 t-i-dl. Si donc on désigne par s l'arc de la trajectoire de m, décrit dans le temps t, afin que ds 

 soit l'espace effectivement parcouru par ce point pendant l'instant dt qui suit le temps t, on 

 verra immédiatement que As est le troisième côté du triangle dont les deux autres côtés sont 

 ds et 8ô-^-(/§£. Ainsi, en désignant par ^, ol et û les angles que font Ae, ds et âe avec une 

 même direction D, nous aurons 



Ae cos^ = ds cos a -i- (Se -t- dSe) cos {â -t- dû). 



Nous mettons â -+- d^û, et non û -+- dû, parce que la direction D, sur laquelle nous projetons 

 les droites Ae, ds et Se-+-d8e, peut être variable : pour lors 0-\-dO représenterait l'angle compris 

 entre Se-j-JSe et la direction D à la fin du temps t~i-dt, or nous devons employer l'angle que 

 Se-i-d8e fait avec D à la fin du temps t. En d'autres termes, l'angle û varie parce que les di- 

 rections de Se et D varient toutes les deux, mais dans la comparaison des projections que nous 

 faisons, nous devons avoir égard seulement au changement de la première des deux direc- 

 tions, en sorte que â-t-d^ â désigne l'angle entre Se à la fin du temps t-i~dt et D à la fin du 

 temps t. Or 



(Se-i-dSe) cos [ô-t-d^O] = Se cos 0~i-di (Se cos O'j, 



nous mettons d. (Se cos â) pour désigner une différentielle incomplète de Se cosâ, il est facile 

 de voir, d'après ce qu'on vient de dire, ce qui lui manque pour être complète, mais il n'est pas 

 nécessaire qu'elle le soit, pour que d, (Se cos 6*) représente une quantité infiniment petite du 

 second ordre, donc en rejetant les quantités de cet ordre, nous aurons 



Ae cos ^' = ds cos a -i- Se cos â. 



11 est visible que ce qui a été dit sur les déplacements de m s'appliquera mot-à-mot aux 

 déplacements de tous les autres points du système, ainsi les extrémités des Ae', Ae", Ae"',.... 

 formeront des courbes respectivement très proches aux trajectoires de m', m", m'",.... Si donc 

 nous désignons par s'. Se', s", Se ", s ", Se'",.... pour m', m", m"',.... les quantités respective- 

 ment analogues à celles qui ont été désignées par s et Se pour m, nous aurons 



