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M. OSTROGRADSKY. 



tinuez de la même manière jusqu'à ce que vous ayez trouvé les variations h^L, h/^L^, 8^/>2' ^a^-s" -- 

 qui répondent aux déplacements 8e^, èzf'. Se/, Se/",.... Vous aurez ensuite 



8L =: S,L -+- 82L -+- S3L H- ... 



SLj = S|L( -i— §2^1 ~+~ ^3^'1 ••• 



SL2 " " S1/-2 S2Z>2 ^3^-2 ••• ' " ^/J^2 



etc. 



C'est le dernier degré de simplicité dans ce qu'on peut dire en général de la recherche 

 des conditions des déplacements possibles. 



6. Supposons, par exemple, qu'il s'agit de trouver la variation que souffre un élément du 

 volume d'un corps, par le déplacement infiniment petit de ce corps; problème que Lagrange 

 avait à résoudre en traitant de l'équilibre des fluides incompressibles *). Ce qui nous paraît le 

 plus simple pour cet objet, serait l'emploi de la transformation des coordonnées dans les inté- 

 grales triples qui se rapportent à la question, mais nous voulons suivre le procédé de Lagrange. 



Rapportons les corps aux axes rectangles des coordonnées œ, y, z, qui par leur variabi- 

 lité apartiendront à tous les points du corps ; en désignant par œ-i-dx, y-+-dy, z-i-dz les coor- 

 données d'un point infiniment proche du point [x, y, z), nous pouvons prendre dxdydz pour 

 un élément du volume dont il s'agit de trouver la variation. Supposons que le déplacement du 

 corps consiste en ce que les points qui répondaient aux coordonnées x, y, z, se trouvent avoir 

 acquis les coordonnées x-\-hx, y, z. Ces dernières seront celles d'un angle de quadrilatère qui, 

 avant le déplacement, était rectangle dxdy et qui répondait à l'ordonnée z. Les trois autres 

 angles du quadrilatère, après le déplacement, auront pour coordonnées 



^ 7 dàx j 



œ ox -h- dx -t- dx, y., z; 



ç. dàX 7 1 



X -\- hx -\- — dy, y dy, z; 



dy 



ç. 7 dàx 1 d8x 7 7 



X -+- ox dx -+- dx H — — dy, y -t- dy, z; 



d'où l'on voit que les quatre angles de la figure sont compris dans fin plan parallèle à celui des 

 xy, et comme de plus les côtés opposés ne se rencontrent pas et sont égaux entre eux, savoir 

 deux égaux à dy, et deux autres à hx-t-^^ dx, on en conclura que le quadrilatère est un pa- 

 rallélogramme. On s'assurera de même que les autres rectangles, faces du parallélépipède 

 dxdydz, resteront des parallélogrammes après le déplacement; donc le parallélépipède dxdydz 

 lui-même restera parallélépipède; et comme les coordonnées des extrémités des arêtes de ce der- 

 nier, arêtes ayant le point [x -+- 8x, y, z) pour origine commune, répondent aux coordonnées 



5, 7 d8x ç, d8x 77 î, ddx , , 



X -+- dx -h- dx y, z; x -i- ox -t- -^^ dy, y -t- dy, z; x ox -i — ~ dz, y, z -t- dz, 



*] Mécanique Analytique, tome I, page 189 et les suirantes. 



