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M. OSTROGRADSKY. 



quatre droites infiniment petites vdt, Ss h- dSs, Ss et [v-i-hv) dt formeront quatre côtés d'un 

 quadrilatèi e ; et par conséquent, la somme des projections, sur une direction quelconque, des 

 deux premiers côtés sera égale à la somme des projections sur la même direction, des deux 

 autres côtés. En prenant pour ligne des projections la direction de v et en désignant par ô 

 l'angle entre v et u h- èv, nous aurons 



vdt -+- (Se -+- dSô) CCS (« n- = cos a -t- [v -+- Su) cos w dt 



d'où, à cause de 



(8s -H dht) cos (o H- d^(d) = Ss cos o -t- (^s cos o), 

 (Se cos (ù) = [v -+- 8v) cos c5 d< — vdt. 



Cette formule nous montre que l'angle (5 doit être infiniment petit *) ; au reste, il est facile de 

 s'en assurer, donc en remplaçant cos o par l'unité, on trouvera 



dj (Se cos o) = bvdt 



ou bien 



{8t cos (ù) 



dt 



Mais peut-être l'idée, que l'angle (3 est infiniment petit, ne se laisse pas saisir immédiatement: 

 nous allons l'éclaircir. Par l'extrémité de Se menez une droite de même direction que v et égale 

 à vdt ; puis, achevez le quadrilatère. Cette figure ayant deux côtés parallèles, égaux chacun à 

 vdt et se trouvant d'un même côté de Se, sera parallélogramme; partant le quatrième côté, que 

 vous venez de mener pour achever la figure, sera parallèle et égal à Se. Or ce quatrième côté 

 et Se dSe, si vous réunissez leurs extrémités, formeront un triangle dont le troisième côté, 

 celui par lequel vous avez réuni les extrémités des deux autres, sera infiniment petit du se- 

 cond ordre, parce que Se variant d'une manière continue en grandeur et en direction, l'angle 

 compris entre cette ligne et Se -t- dSe sera infiniment petit. Mais ce troisième côté infiniment 

 petit du second ordre est en même temps le troisième côté d'un autre triangle, ayant (u-i-Su) dt 

 et vdt pour ses deux autres côtés ; le dernier étant celui que vous avez mené par l'extrémité de 

 Se dans la direction de la vitesse v. L'angle ô étant compris entre ces deux côtés, qui sont in- 

 finiment petits du premier ordre, et étant opposé au côté infiniment petit du second ordre, sera 

 nécessairemeint infiniment petit. 



Remplaçant - — — — par Sv, nous aurons 



[v, cos (1) de) d {v cosu de) 



dt dz 



par suite l'équation (5) deviendra 



— vSv, 



*) Parce que le terme multiplié par dt doit s'en aller, comme incomparable arec la combinaison caracté- 

 ristique dd. 



