La théorie des fonctions rationnelles entières, intimement liée à celle des équations algé- 

 briques, a beaucoup occupé les géomètres, surtout de notre temps. Tous savent combien cette 

 doctrine est redevable aux travaux de Lagrange, Legendre, Fourier, Gauss, Abel et 

 d'autres. Mais ce sujet est tellement fécond en lui même, qu'il est encore loin d'être épuisé. 

 Dans cet écrit je donnerai la solution complète d'une question qui n'est pas sans quelqu'in- 

 térêt. Elle consiste dans la détermination du diviseur numérique invariable qu'une fonction ra- 

 tionnelle entière peut admettre, quand tous ses coefficients sont entiers, et que la variable elle 

 même est assujettie à n'obtenir que des valeurs entières, mais d'ailleurs tout-à-fait arbitraires. 



fl. Considérons une fonction entière 



f(x) = a^x'^-h- a,x^~^-\- a^x^~^-^ .... h- i^ «™ 



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à coefficients entiers, positifs ou négatifs, délivrés de leur commun diviseur si tous en avaient 

 un. Supposons, de plus, qu'on n'attribue à la variable x que des valeurs entières, zéro y compris. 

 Cela posé, cette fonction ne pourra admettre que deux modes différents de divisibilité : 



1". La fonction f{x) pourrait être divisible par une autre fonction entière, d'un degré in- 

 férieur à m ; dans ce cas, x étant un entier quelconque, la fonction f[x) serait constamment 

 décomposable en facteurs qui varieraient avec la valeur particulière attribuée à x. Ainsi 

 f[x) = x^ — 1 est constamment divisible par x — 1 et x^-i-x-t-l , quelque valeur que l'on 

 prenne pour x. Au contraire, la fonction a;^-t-^H-2, dans ce même sens, n'est pas décompo- 

 sable en facteurs. Une fonction prise dans cette dernière acception, c'est-à-dire indécomposable 

 en facteurs rationnels d'un degré inférieur, est, ce que les géomètres appellent, irréductible. 



2". Le second mode de divisibilité tient à la propriété des factorielles et de quelques poly- 

 nômes d'une forme déterminée, d'être divisibles par certains nombres, indépendamment de la 

 valeur entière attribuée à la variable. Ainsi, le trinôme 



x'- 



quoiqu' irréductible, est néanmoins toujours divisible par 2; de même le polynôme irréductible 



x'- 



