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V. BOUNIAKOWSKY. 



est évidemment divisible par 6, parce que la factorielle x[x-i-i)[x-t-2) l'est elle même. On a 

 plusieurs formules de ce genre dans la théorie des nombres : l'une des plus simples et des plus 

 utiles est, comme on sait, la suivante 



qui est toujours divisible par p, quand p représente un nombre premier. 



C'est ce second mode de divisibilité qui, à notre connaissance, n'a pas été examiné d'une 

 manière générale. Nous tâcherons de combler cette lacune en présentant une méthode complète 

 pour trouver, quand il existe, le diviseur numérique invariable de la fonction entière donnée. 

 Nous prévenons que, pour éviter toute équivoque, nous appellerons fonction indivisible toute 

 fonction entière qui n'offrira aucun des deux caractères de divisibilité dont il vient d'être que- 

 stion tout-à-l'heure. 



S. Nous commencerons par indiquer quelques propositions connues de la théorie des 

 nombres, dont nous aurons besoin pour l'exposition de notre méthode. 



Proposition 1ère, 



Soit p un nombre premier, inférieur à l'entier a ; l'exposant v de la plus haute puissance de 

 p, qui divise la factorielle numérique 



1.2.3 a 



sera déterminé par la formule 



A ' 



p — 1 



la notation 2{a)p désignant la somme des chiffres du nombre a, exprimé d'après le système de nu- 

 mération qui a pour base le nombre p, 



La démonstration de cette formule est très simple. Supposons, en effet, que l'on effectue 

 l'opération qui sert à transformer un nombre décimal en un nombre exprimé d'après le sy- 

 stème qui aurait pour base l'entier p. Nous obiendrons successivement 



- = Q. H — ) — = q H — , — — g -i , — qn~i , 



en nous arrêtant au quotient q^<^p- On aura donc 



La somme de toutes ces équations donne 



«-^Î,-+-Î2-^ în-1 = P (î,-*-Î2-^Î3-*- • • • -+-în) -*-r^-i-r^-i-r^-+- . . . -t-r^ , 



et, en observant que 



