Sur les diviseurs numériques invariables. (3) 309 



l'on aura 



0-^-^— în = ^ («)p— ' 



d'où l'on tire de suite 



a — S(a)p 



V = r^' 



p— 1 



Proposition 3*®. 



Si l'on représente par p un nombre premier, et par m un entier supérieur ou égal à p, la 

 congruence 



f[x) = a/^-^a^x'^~'-+-a^x'^~''-^ -»-«m-i^-*-«m = ^ (mod.^) 



aura les mêmes racines que la suivante 



\ xP~'-i- b^ccP-^-+- b^^P~^-^- -*-bp = 0 (mod.p), 



la fonction b^xP~^-t-b20cP'~^-t- . . . .-t-b^ étant le reste provenant de la division de f[x) par la 

 différence 



x^ — X, 



ou par la factorielle 



(a;— 1 ) {x—2) (x— 3) [cc—p). 



Cette propriété constitue une proposition fondamentale bien connue de la théorie des con- 

 gruences. On en tire les deux corollaires suivants : 



C 0 r 0 II a i r e. 



Pour que la congruence 



f[x) = a^x^^a^x^~^-^ "*-««i-i^~^"m =^ (mod.p) 



ait toutes les p racines 1, 2, 3, . . . il faut que chacun des p coefficients b^, b^, b^. . . . bp_^ , b^ 

 du reste de la division de f[x) par — x ou par [x — 1) [x — 2) [x — 3). . . . {x — p) soit divisible 

 par p. 



2^ Corollaire. 



Pour que la fonction 



F{x) = b^xP-'-+-b^xP-'-i-b^xP-'-i-. bp_^x-t-bp 



sgit divisible par la puissance pour toute valeur entière de x, il faut que chacun des coefficients 

 b^, b^, b^. . . 'bp_^, 6p soit séparément divisible par cette même puissance p^. 



En effet, F{x) devant être divisible par;?, et n'étant que du degré ^ — 1, chacun de ses 

 coefficients devra être divisible par^ {P^ Corollaire); divisant par^ la congruence 



F{x)=0 (mod./), 



I 



