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V. BOUNIÀKOWSKY. 



et posant 



pi' P ^2 p ^P' 



on aura 



Par la même raison que plus haut chacun des coefficients b^' , ^2 ' ' ' • V ^*^^''^» ^ 

 tour, être divisible par p, et il en sera ainsi jusqu'à ce que l'exposant de la puissance de 

 p ne soit entièrement épuisé. De là on conclura immédiatement que chacun des coefficients 

 , 6, , 63. . • • » de la fonction F[x) doit être divisible par p^. 



S* Comme dans tout ce qui va suivre nous ferons un fréquent usage des factorielles, 

 nous les désignerons, pour abréger, par une notation très simple ; en même temps nous rap- 

 porterons quelques unes de leurs propriétés qui nous seront nécessaires. 



Convenons donc de représenter la factorielle 



[x — k—i .p—\){x — k—i .p—'l)[x — k—\ .p—^) [x—kp] 



par la notation 



p étant un nombre premier; on observera d'abord que 



Y — 0 



pour toutes les valeurs suivantes de x : 



X = {k—i)p-^i , {k—i)p-i-2, {k—l)p-+-3, kp. 



De plus, il est évident que cette fonction X^j^_^^p_^^ sera identiquement congrue à zéro sui- 

 vant la première puissance du module p. Pour des valeurs particulières de x elle pourrait être 

 divisible par des puissances supérieures de : ainsi, pour x ^ p^-i-kp, la fonction X^i^_^^p_^_^ 

 devient divisible par p^, mais non-identiquement. - 



Actuellement il importe, pour notre but, de déterminer la puissance la plus élevée par 

 laquelle la factorielle 



Y K Y Y Y 



1, kp ■^\,p' p-\-\ , 2p' 2p-i-\, 3p ' * ' ' (k—i)p-*-i, kp 



est divisible identiquement, c'est-à-dire quelle que soit la valeur entière de a;. La Proposition 

 i^'''^ nous en fournil de suite le moyen. 



En effet, si l'on considère la factorielle 



^1, kp = {x-i]{x-2){x-Z).. . .{x-kp) 



pour différentes valeurs de x, à commencer par x=kp-t-if pour laquelle on a 



1-2.3.... Ap, 



