Sue les diviseubs numériques invariables. (7) 31 1 



on verra que la puissance de p qui divise cette dernière factorielle numérique, est précisément 

 celle que l'on cherche, parce que pour toute autre valeur de x, supérieure à l'exposant 

 de p ne sera jamais inférieur à celui dont il est question, et ne pourrait que lui être supérieur. 

 Si l'on désigne donc par X cet exposant, on aura identiquement 



X^^j,p = [x-\){x—2){x-^). . ..{x—kp)^0{mod.p^), 



p^ étant, nous le répétons, la plus haute puissance de p qui divise la factorielle numérique 

 1.2.3. . . .kp. Par conséquent 



^ ~A » 



P 1 



expression qui, en vertu de la propriété évidente '2,[hp)^ — 2(/c)^, prend la forme 



'k = k 



p — 1 



La conclusion à laquelle nous sommes parvenu tient à ce que la factorielle numérique 

 1 . 2 . 3 . . . . fcj) a pour diviseur une puissance p^ égale ou inférieure à la puissance qui divi- 

 serait la fonction 



\ kp = {x-i){x-2){x-3). . . .[x-kp) 



pour une valeur quelconque de x, supérieure à kp-i-i. Pour justifler cette dernière assertion, 

 posons x=kp-i-i-i-h, h étant un nombre entier positif, d'ailleurs entièrement arbitraire. Il 

 s'agira de faire voir que si p^ est la plus haute puissance de p qui divise le produit 1.2.3.... kp, 

 la factorielle 



(/i-t- 1 ) (/1-I-2) (/1-I-3) [h-^kp) 



sera également divisible par p^ ou par une puissance supérieure. Pour cela, soient p^' et p^" les 

 puissances de p qui divisent respectivement les factorielles 



1.2.3 h et 1.2.3 h{h-i-i){h-^-2) {h-i-kp); 



on aura 



,f h — '2{h)p h-i-kp — ^{h-t-kp)p 



A — — , A — « 



p— 1 p—i 



La différence X" — X' représentera l'exposant de la puissance de^, qui divise la factorielle 



(/i-H 1 ) (Ji-f-2) (/1-+-3) {h-i-kp). 



Or 



