312 (8) V. BOUNIAKOWSKY. 



Maintenant, en désignant par X l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise la fac- 

 torielle 



1.2.3 kp, 



il faudra faire voir que l'on a 



X ^ x"-x', 



ou bien 



K •+- — k -+- z , 



p — 1 ^ p — i ' 



ce qui entraîne la condition 



qui se trouve remplie. En effet, si h est inférieur à p, la somme ^[h-t-kp)^ est visiblement 

 égale à h-i-2.(k) , et comme dans ce cas ne diffère pas de /i, on aura 



Quand le nombre h est supérieur à p, il se compose de deux ou d'un plus grand nombre de 

 chiffres; il pourra arriver alors qu'en additionnant h et kp, exprimés d'après le système de nu- 

 mération qui a pour base le nombre premier p, il y ait une réduction dans la somme des 

 chiffres; cette réduction, comme on le sait d'ailleurs, est toujours un multiple de ^ — 1 ; donc, 

 dans ce cas, 



Enfm, l'hypothèse de h=p conduit successivement à 



^[p^kp)^ = 2{M.p)^ = 2(l-H/c)^ < 2(1)^ -f- , 



le signe de l'égalité correspondant au cas où l'addition de 1 à /c ne produirait point de réduc- 

 tion dans la somme des chiffres, et le signe <C. à celui où une telle réduction aurait lieu. 

 Ainsi, on aura généralement 



2{h-^kp)^^2{h)^^^{k)^. 



Enfin, la dernière propriété des factorielles dont nous ayons besoin, consiste dans la pro- 

 position suivante : 



Proposition S*"™». 



Soit p un nombre premier, et (^{x) un polynôme d'un degré inférieur à p, dont tous les coef- 

 ficients ne sont pas divisibles par p ; dans cette hypothèse, le produit 



