Sur les diviseurs numériques invariables. (9) 313 



jtp désignant, comme plus haut, la factorielle [x — — 2){œ — 3) . . . . (j? — kp), ne pourra 

 pas être identiquement divisible par une puissance de p supérieure à celle qui divise la factorielle 

 numérique 1.2.3 — hp. 



En d'autres ternies : si l'on représente par X l'exposant de la puissance de p qui divise 

 identiquement le produit j^^.(^[x), la congruence 



^1, = O(mod./), 



pour être identique, exige que X soit déterminé par la condition 



1.2. 3. .../vp = O(mod./), 



et que l'on ait par conséquent 



p — 1 



Pour se convaincre de la justesse de cette assertion, observons que puisque la fonction 

 <p(^) est d'un degré inférieur à j), il y aura au moins une valeur de x, supposons r, non-supé- 

 rieure à p, qui ne rendra pas 9(0?) divisible par p ; il en sera évidemment de même de la 

 valeur x = hp-i-r; ainsi (^{kp-^-r) ne sera pas congrue à zéro suivant le module p. On aura 

 donc dans ce cas 



X^^ j.^ = r(r-t-l)(r-f-2)....(/cp-+-r— 1) = 0 (mod./). 



Or, les deux factorielles 



r(rH-l )(r-+-2) {kp-t-r — 1) et 1.2.3 kp 



sont divisibles cliacune par la même puissance de p ; cela se voit de suite en faisant attention 

 que dans le produit 



1 . 2 . 3 . . . . (r— 1 ) . r(r-4- 1 )(r-+-2). . ..kp. (/.^-t-l )(/^-4-2) . . ..{kp-t-r—i) 



les termes barrés ne contiennent pas le facteur p. De là on conclut de suite la légitimité du 

 théorème énoncé. 



Comme dans ce qui va suivre nous aurons besoin de l'exposant X de la plus haute puis- 

 sance du nombre premier p qui divise la factorielle numérique 1 . 2 . 3 . . . . /tp, nous présen- 

 tons ici une table qui donne ces exposants pour toutes les valeurs de k et p, dont le produit 

 kp ne dépasse pas 100. Cette table peut être calculée très facilement, soit directement, soit au 

 moyen de la formule rapportée plus haut 



X = /£ H 7-^. 



p — 1 



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