Sur les diviseurs numériques invariables. (il) 315 



est identiquement congrue à zéro suivant le module 3, on divisera cette fonction par x" — x; on 

 aura 2^-h1 pour quotient et 3^^ — 6x-i-3 pour reste. Par conséquent 



2x''-+-x^-i-x^—7x-i-3 = {x"—x) (2^c-*-l ) -h3^^— 6x-f-3. 



Or, puisque chacun des trois coefficients 3, — 6, 3 du reste 3x^ — 6a;-i-3 est divisible par 3, 

 on en conclura que la congruence 



2x'-i-x^-i-x^—7x -1-3 = 0 (mod. 3) 



a lieu identiquement. 



Au lieu de diviser la fonction donnée par la différence x^ — x, on aurait pu prendre 

 pour diviseur la factorielle [x — i){x — 'È){x — 3) = ^^ — 6x^-i-ilx — 6, et l'on serait arrivé 

 à la même conséquence. 



Quand le degré m de la fonction f[x) est inférieur à p, son identité exige, comme l'on 

 sait, que chacun de ses coefficients soit divisible par p ; par conséquent les coefficients de f[x) 

 auront alors p pour facteur commun. Or, comme ce cas a été exclu par ce qui précède, nous 

 n'aurons à considérer que celui où le degré m de la fonction est égal ou supérieur au module 

 p. Nous ferons observer en même temps que le diviseur numérique invariable que l'on cherche 

 sera nécessairement diviseur du dernier terme a^^^ de la fonction f{x). En effet, soit iV un mo- 

 dule quelconque ; la congruence 



a^œ'^-i-a^x'^-'^a^œ'^-'-^ .... -i-a^_,^-4-a^ ^ 0 (mod. iV) 



devant être identique, on aura, en y faisant x= N, 



a^^O(mod.iV). 



11 suit de ce que nous venons de dire qu'une fonction de la forme 



f(x) = a x'^-i-a,x'^~'^-i- .... -+-a ,x-t-i 



I \ / 0 1 m — 1 



n'admettra jamais de diviseur numérique invariable, et qu'un diviseur de cette nature ne pourra 

 évidemment, dans aucun cas, surpasser le dernier terme a^^^ de f{x), en supposant toutefois que 

 n'est pas nul. 



Après ces préliminaires considérons le cas général, c'est-à-dire celui où le diviseur in- 

 variable, que nous représenterons par N, sera un nombre composé, égal, par conséquent, à 

 un produit de la forme p'^ .q^.r^ — , p, q, r — désignant des nombres premiers, et a, ^, y.... 

 des entiers positifs quelconques. Soit donc la fonction donnée 



f{x) = a/"-H a^x"*-'-t- -t-a^_^x-^a^^^, 



dont on cherche le diviseur numérique invariable N. On commencera par décomposer le nombre 

 a^ en facteurs premiers ; supposons que l'on ait ainsi trouvé 



«.= 2^3^5^... 



Le diviseur invariable iV ne pourra être lui même que de la forme 



iV=2".3^5^... 



